미분과 적분 교수학습 이론(수학교육과정 및 교재연구 제5장 내용정리)

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미분과 적분 교수학습 이론(수학교육과정 및 교재연구 제5장 내용정리)에 대한 보고서 자료입니다.

목차

가. 미분과 적분 지도의 의의
나. 미분과 적분의 역사적 발달
다. 미분과 적분 교수 학습 관련 연구

부록- 아르키메데스의 구분구적법
케플러의 포도주통
카바리에리 불가분량법
뉴턴과 라이프니츠의 미적분학
18세기 이후의 미적분학

본문내용

m) 부피 구하기
중심이 인 원의 방정식은
양변에 π를 곱하면
양변에 2r을 곱하면
지렛대의 원리 지렛대의 원리에 따르면 지레를 중심으로 한쪽에 무게 인 물체가 지렛대로부터 만큼 떨어진 거리에 있고, 또 다른 쪽에는 무게 인 물체가 지렛대로부터 만큼 떨어진 거리에 있을 때 가 성립한다.
에 적용하면 중심으로부터 2r만큼 떨어진 위치에 반지름인 각각 인 원이 있고, 또 다른 편에는 중심으로부터 만큼 떨어진 위치에 반지름이 2r인 원이 있으며, 양쪽운 균형을 이루고 있다.
오른쪽을 보면 은 원기둥의 단면의 넓이이고, 은 각각 원뿔과 구의 단면의 넓이가 된다.
이제 를 0에서 2r까지 변화시키면 단면 , 은 각각 원기둥, 원뿔, 구를 채우게 된다. 당시 원기둥과 원뿔의 부피를 알고 있었으므로
, ∴
2) Kepler의 포도주통의 부피를 통한 미분의 아이디어 탐구
Kepler는 포도주통의 부피를 구하는 것으로부터 미분의 아이디어를 발전시킴
‘통의 부피 계산(Doliometry)’ : 의 길이가 같더라도 폭이 좁고 긴 통의 부피는 폭이 넓고 길이가 짧은 통의 부피보다 작음에도 불구하고 동일한 가격이 책정된다는데 문제의식을 느끼고 문제를 탐구.
원기둥(포도주통)의 밑면의 반지름을 , 높이를 라고 하면
이므로
원기둥의 부피는
Kepler는 가 일정할 때, 를 최대로 하는 값은 얼마인가 하는 질문 제기
가 최대이기 위해서 이어야 하므로,
3) Cavalieri의 불가분량법
적분 : 선(1차원)을 쌓아서 면(2차원)을 만드는 것, 혹은 면을 쌓아서 입체(3차원)을 만드는 과정 Cavalieri의 불가분량법 : 평면도형의 불가분량은 ‘현’, 입체도형의 불가분량은 입체도형을 절단한 ‘단면’
Cavalieri의 불가분량법의 평면도형과 입체도형에 대한 두 가지 원리
한 쌍의 평행한 직선 사이에 두 평면도형이 있고, 이 직선과 평행한 임의의 직선에 의해 잘려진 두 평면도형의 선분이 항상 일정한 비율이면 두 평면도형의 넓이의 비율은 그 선분의 비율과 같다.
☞ 타원의 넓이 - 반지름이 인 원의 넓이를 이용하여 장축과 단축의 길이가 각각 인 타원의 넓이를 구한다.
원과 타원은 모두 평행한 두 직선 사이에 있으며, 원과 타원을 축에 평행하게 절단하였을 때 수직방향 현의 길이의 비는 이므로, 원과 타원의 넓이의 비도
따라서 타원의 넓이는 원의 넓이인
한 쌍의 평행한 평면 사이에 두 입체도형이 있고, 이 평면과 평행한 임의의 평면에 의해 잘려진 두 입체도형의 넓이가 항상 일정한 비율이면 두 입체도형의 부피의 비율은 그 넓이의 비율과 같다.
☞ 구의 부피
왼쪽 단면의 넓이 = / 오른쪽 단면의 넓이 =
⇒ 두 단면의 넓이가 같다.
원리 에 따르면 왼쪽 반구와 오른쪽 원기둥에서 원뿔을 제거한 입체의 부피는 같다.
따라서 구의 부피 는
4) Newton과 Leibniz의 미적분학
* 물리학자 Newton - 물체의 운동과 그 변화를 나타내기 위한 역학적인 관점
- 물리학을 위한 연구 도구
* 철학자 Leibniz - 곡선에 접선을 긋는 기하학적 관점
- 인간의 사유를 합리적으로 표현하는 도구
Newton : 변화하는 양을 소재로 하는 유율법에 의해 미분을 생각해냄
유량(fluent) : 변화하는 양(量),
유율(fluxion) : 유량의 변화 비율,
주유율(principal fluxion) : 유량의 일정한 시간 동안의 변화율 - 평균변화율
모멘트(moment) : 하나의 변량이 시간이 0인 무한히 작은 구간에서 증가하는 양, (→ 는 무한히 적은 양) - 순간변화율, 미분계수
삼차방정식 을 고찰하여 미분의 아이디어를 설명
하면
을 대입하여 정리
나머지 항들을 로 나누면
는 아주 적은 양을 나타내므로, 가 곱하진 항들은 나머지 항에 비교해 볼 때 무시할 수 있을 정도로 작아진다.
Berkeley - 편의에 따라 를 0이 아닌 것으로 또 0인 것으로 이중적인 취급을 함
Leibniz : 현대적인 적분기호 과 등의 기호를 처음 사용
곡선의 접선을 긋는 문제와 관련하여 미분의 아이디어를 전개
좌표가 일 때, 접선의 길이가 라고 하면 삼각형의 닮음에 의해,
, ∴
Fermat와 Barrow : 곡선과 접선의 접점에서 축에 내린 수선의 발과 접선이 축과 만나는 점을 이은 접선영(subtangent)를 이용
Barrpw곡선 위의 한 점 에서 접선을 긋고 축과 만나는 점을 , 점 에서 내린 수선의 발을 , 곡선 위의 한 점을 , 에서 축과 평행하게 그은 직선이 과 만나는 점을 , 라 하자.
가 에 가까워지면 은 닮음이므로,
점 의 좌표를 라고 하면, 점 의 좌표는
이런 방법을 이용하여 다음의 여러 가지 접선을 작도함
(a) 카파곡선 :
(b) 라메곡선 :
(c) 데카르트의 엽상 곡선 :
(d) 할원 곡선 :
(e) 탄젠트 곡선 :
→ 주어진 방정식의 와 에 와 를 각각 대입하고 와 의 이차 이상의 거듭제곱을 무시하면, 비 를 얻는다. 를 찾는다.
예를 들어, 라메곡선(Lame curve)인 에 이 방법을 적용하면
의 2차 이상인 항은 무시하고, 를 대입
,
이때의 비율 는 결국 를 에 대해 미분한 가 된다.
5) 18세기 이후의 미적분학
미분과 방정식을 결합시킨 미분방정식을 탐구
Laplace - 18세기 말 미분을 기하학에 적용시킨 미분기하학의 등장, 곡선과 곡면의 성질을 미적분의 관점에서 연구
Cauchy - 19세기 방법을 이용하여 극한, 연속, 미분가능 등의 개념을 수학적으로 보다 엄밀하게 정의
Weierstrass - 'Weierstrass 함수‘: 도함수를 갖지 않는 연속함수
Dirichlet - Dirichlet 함수:
→ 모든 유리수에서 불연속이지만 모든 무리수에서 연속이 되며, Riemann 적분은 가능하지 않고 Lesbeque 적분은 가능하다.
‘해석학의 산술화(arithmetization of analysis)'
- 극한, 연속성, 미분가능성에 대한 이론은 실수계의 성질에 좌우된다는 것을 깨달음.
- 비유클리드 기하학의 출현에 따른 기하학의 해방, 추상적인 대수적 구조의 발견
- 19세기 수학사의 중요한 세 가지 경향 중의 하나

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