외팔보의 진동모드 및 공진실험

목차

Ⅰ. 서　론
　1. 개요 및 실험 목적 …………………………… <　3 >
　　1-1.　개요
　　1-2.　실험 목적

　2. 이론전개 및 이론적 결과 해석 …………………………… <　4 >
　　2-1.　진동수 (frequency)
　　2-2.　고유 진동수 (eigen frequency)
　　2-3.　진동 모드 (vibration mode) …………………………… <　5 >
　　　2-3.1　보의 처짐 미분 방정식
　　　2-3.2　The equation of Beam's motion …………………………… <　7 >
　　　2-3.3　Mode shapes and natural frequencies of Beam ………… < 10 >
　　2-4.　모드 형상 (Mode shapes) 구현 …………………………… < 15 >

Ⅱ. 본　론
　3. 실험장치 구성 …………………………… < 17 >
　　　3-1. 함수발생기 (function generator)
　　　3-2. 증폭기 (amplifier)
　　　3-3. 가진기 (exciter of shaker)
　4. 실험 방법 …………………………… < 18 >
　5. 실험 시 유의사항


Ⅲ. 결　론
　6. 실험결과 및 비교토의 …………………………… < 19 >
　　　6-1.　실험 재료(Al 60 계열)에 대한 물성치
　　　6-2.　이론 계산 결과 …………………………… < 20 >
　　　6-2.1　natural frequency
　　　6-2.2　mode shape …………………………… < 21 >
　　　6-3.　실험 결과 내용 …………………………… < 23 >
　　　6-4.　이론값과 실험값의 비교 분석 ………………………… < 24 >
　7. 결론 …………………………… < 25 >
　8. 참고 문헌 …………………………… < 28 >

본문내용

de shape)에 대하여,
서론 부분의 [2. 이론전개 및 이론적 결과 해석]에서, 외팔보 진동 운동에 대한 미분방정식과 적절한 경계 조건 대입으로 아래와 같은 특성 주파수에서 운동하는 방정식을 얻은 바 있다.
이는 공간에 대한, 그리고 시간에 대한 운동방정식 중 공간 진동 운동방정식에 경계조건을 대입하여 얻어진 식으로 진동 모드에 대한 형상을 구현할 수 있게 해 준다. 경계조건을 이용하여 구한 특성방정식(characteristic equation)에서 은 각 진동모드에서 상수로 작용한다. 여기서 은 진폭이다.
위의 방정식을 이용하여 본 문의 [6-2.2 mode shape]에서와 같이 matlab 이나 origin 같은 프로그램을 사용하여 각 모드에서의 형상을 구현할 수 있었다. 프로그램을 사용하여 graphing한 이론 형상은 로 가정하였기 때문에 [6-3. 실험 결과 내용] 실제 실험 사진과는 진폭의 크기가 차이는 있으나 전체적인 형상은 이론 형상과 같은 형상임을 확인할 수 있다.
[6-2.2 mode shape]와 [6-3. 실험 결과 내용]에서의 형상의 명확한 차이에 대하여, 그 원인을 보의 길이 측정에 대한 오차로 규명할 수 있다. 실험 사진에서 확인할 수 있듯이 실험의 외팔보는 두 개의 고정 핀에 의해 고정됨을 확인할 수 있다. 이론 형상에서는 가진력이 보의 전체 길이에 대하여 가해질 때의 진동 형상을 나타내지만 실제 실험에서는 사진의 오른쪽 핀에 의하여 고정되어 있으므로 보의 길이 측정은 고정 핀 이후로부터 측정하였음이 옳았다. 이에 대하여 그래프와 사진을 비교해보면 실제 실험을 촬영한 사진에서의 노드 점이 더 오른 편에 위치하고 있음을 볼 수 있다.
진동모드(vibration mode) 및 노드 점(node)에 대하여,
[6-2.2 mode shape]와 [6-3. 실험 결과 내용]을 확인해 보면 n차 진동 모드에 대하여 n-1 개의 node점을 확인할 수 있다. 이는 특정주파수에서 운동하는 방정식에서 주파수와 주파수가 더해져서 복합적인 주파수를 나타냄을 확인해 볼 수 있듯이 sin, cos, sinh, cosh 함수들이 합쳐져서 하나의 수식으로 만들어짐을 알 수 있다. 즉 하나의 새로운 주파수가 생겨나는 것인데, 외팔보 실험에서 답을 찾는다면 처음 가진 주파수를 가할 때 특정한 형상 없이 진동하다가 변조되면서 우리는 1차 진동모드 또는 2차 진동모드 라는 공진현상을 눈으로 확인해 볼 수 있었다. 이는 서로 다른 여러 주파수가 합성이 되다가 고유주파수의 진동수에 정수배가 되는 시점에서 여러 노드 점을 가지고 새로운 파형의 진동주파수를 보게 되는 것이다.
즉 가진 주파수를 가해 줌에 따라 보게 되는 진동모드는 주파수가 합쳐짐에 따라 고유주파수의 정수배수가 되었을 때 우리 눈에 확연히 띠게 노드 점을 갖는 파형이 생겨난다는 것이다. 실제로는 여러 진동모드가 있지만 봉의 길이에 대한 제한과 정수배로 일치 하지 않은 가진 주파수에서는 사람 눈으로 보기에는 그냥 불규칙적이고 불안정하게 떨리는 것으로만 보이는 것이다.
5차 이상의 진동수는 대부분 물체를 rigid mode가 아닌 Flexible mode로의 해석을 통해 가능하기 때문에 수식이 상당히 복잡해진다. 또한 탄성체를 이용한 설계(타코마 다리 붕괴와 같은)에서 물체의 변형이나 파괴는 대부분 3차 이하 진동수에서 이루어진다. 이는 고차 진동 모드로 갈수록 노드 점의 수는 비례하여 증가하고 진폭의 크기는 고차 진동 모드로 갈수록 더 줄어들기 때문에 큰 진폭으로 인한 피로파괴 현상을 원인으로 할 수 있다. 즉 무한개의 고유진동수 중에서 3차 이하 공진에서 대부분의 에너지전달이 이루어짐을 알 수 있다.
실제 실험에서 공진현상을 촬영할 때 정확한 노드 점이 생성되는 주파수를 맞추기 어려웠음에 이론값과 실험값 사이의 오차에 기여했음이 명확하다. 또한 고차 공진에서는 진폭이 저차에 비하여 줄어들기 때문에 노드 점을 더욱 구별할 수 없었고 그에 따라 3차 이상의 진동 모드에서의 고유 진동수를 찾기가 어려웠다.
위에서 언급하였듯이 [6-4. 이론값과 실험값의 비교 분석]에서의 오차 결과는 정확한 노드 점이 발생되는 진동모드를 파악하는데 육안을 이용하였다는 점과 표에 근거한 물성치와 실험장비의 실제 특성에 대한 차이, 보의 길이 측정에서의 핀 고정 후 측정에서 나오는 실제 모드 형상의 차이를 이유로 설명할 수 있다. 측정 시에 발생하는 주변의 움직임이나 바람, 소음으로 인한 공기의 진동에 의한 오차가 또한 실험결과에 커다란 영향을 미치는 것은 당연하다.
이번 실험은 외팔보의 공진 점을 측정하는 실험이었는데 이는 구조물이나 건물, 교각, 그리고 여러 가지 기계를 설계할 때 고유진동수를 고려하여 설계를 하기 위함이다. 타고마 다리 붕괴에서도 알 수 있다시피 작은 진동이라 할지라도 공진이 일어나면 물체에 피로 파괴 현상이 일어날 수 있으므로, 공학도로서 앞으로 실무나 현장에서 직접 설계를 할 때 반드시 고유진동수를 고려하여 설계할 수 있도록 그에 대한 지식을 축적함에, 본 실험은 진동에 대한 이해를 도와주었다. 분명한 것은 이번 실험을 통하여 진동모드에 대한 해석과 공진현상에 대하여 눈으로 확인하고 그 현상의 발생 원리와 특성을 이해하는데 도움이 되었음에 자명하다.
8. 참고 문헌
(1) James M.Gere, Mechanics of Materials : 6th, Thomson Learning, 2007.
(2) Inman Daniel J, (최신) 기계 진동학 : Pearson education korea, 2009.
(3) 이종원, 박보용, 기계진동학 총정리 : 청문각 (p.175∼205)
(4) Chapra and Canate , Numerical Methods for Engineers : 5th ed, McGraw-Hill.
(5) 구영필, Introduction to MATLAB For Engineers : 인터비젼, 2008.
(6) 응용 공학 실험 : 한국 항공대학교 출판부
(7) 위키 백과 : http://www.wikipedia.org/
(8) Matweb : http://www.matweb.com/

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