식과 관련된 이야기.

목차

1-인수분해 공식을 이용한 곱셈
1)진자의 등시성

2-비로소 꽉찬 수직선
1)수 식 의 발 생

3-나이와 태어난 달의 수
1)엉 터 리 수 학
2)1=2임을 증명하여 보자

4- 파스칼의 삼각형

5-이발사의 모순

본문내용

우선 1 - 3 = 4 - 6
양변에 를 더하면
여기서 인수분해
을 이용하여 변형시킨다.
a=1, b=3이라 생각하면
또한 a=2, b=3이라 생각하면
㉠과 ㉡에서 좌변끼리 같으므로 우변끼리도 같다. 즉,
따라서,
양변에를 더하여 주면
∴ 1 = 2
자! 과연 1과 2는 같을까?
이상하다면 어디가 이상한가?
이발사의 모순
어느 마을에 들린 나그네가 이발사에게 경쟁 상대가 있는지를 물었다. 이발사는 이렇게 대답하였다. "아닙니다.경쟁상대는 없습니다. 이 마을 사람 중에서 스스로 수염을 깎는 사람 외에는 모두 내가 수염을 깎아 줍니다." 이 답변을 들은 나그네는 새로운 궁금증이 생겼다. 이 이발사는 자신의 수염을 스스로 깎지는 어떤지 하고 말이다. 우리도 함께 생각해 보자. 먼저, 이발사가 스스로 면도를 한다고 하자. 그러면 이 이발사는 자신의 수염을 스스로 깎는 사람에 대해서는 면도질을 안 하기 때문에, 결국 그는 자신의 수염을 자신이 깎지 않는 셈이 된다. 그렇다면, 그가 자신의 면도를 하지 않는다고 해 보자. 그러나 이 이발사는 스스로 수염을 깎지 않는 사람에 대해서는 모두 면도해 주기 때문에 결국 그는 자신의 수염을 깎는 셈이 된다. 이런 기막힌 일이란! 알고 보면 이발사는 가엾게도 자신의 수염을 깎을 때는 깎지 않고, 깎지 않을 때에는 깎는다는, 이러지도 저러지도 못하는 처지인 것이다.
진자의 등시성
1583년 늦은 봄의 어느 날 저녁,이탈리아의 피사에서 일어난 아주 평범한 일이었다. 저녁 노을을 바라보는 고요한 마을의 커다란 성당에서, 갈릴레이는 천장에 길게 드리워진 등이 조용히 흔들리고 있는 모양을 퍽 인상적으로 느꼈다. 갈릴레이는 신비스러운 마음이 들어 한참 동안 전등을 지켜보았다. 등이 흔들리는 폭은 점점 줄어들었지만 한 번씩 왕복하는 시간은 똑같은 것 같았다. 갈릴레이의 머리에 문득 한 가지 생각이 떠올랐다. "그렇지!"하며 그는 재빨리 오른손으로 왼손의 손목을 잡았다. "1,2,3,4,5,…"갈릴레이는 등을 지켜보면서 자신의 맥박 수를 세었다. 그는 평소의 자신의 맥박 수를 잘 알고 있었기 때문에, 이로써 등이 1회 왕복하는 시간을 잴 수가 있었다. 그 날 밤, 갈릴레이는 집으로 돌아와 간단한 추를 만들어 밤이 새도록 실험을 계속했다. 그리하여, 진폭은 달라도 1회의 왕복 시간은 일정하다는 '진자의 등시성(等時性)'이라는 대발견을 하였다. 해시계, 물시계, 모래시계에서 톱니바퀴와 추를 이용한 오늘날의 추시계로 발달한 것도 갈릴레이의 '등시성의 원리'덕분이다. 생활 주변에서 흔히 볼 수 있는 현상을 세심히 관찰하는 태도가 결국 큰 발견과 발명을 이룬 것이다. 이것은 갈릴레이의 나이 19세 때의 일이다.
갈릴레이의 등 ⇒
진자의 등시성을
발견하게한 등
수 식 의 발 생
인도와 아라비아인들은 일찍이 수와 식을 표현하는 발명에 힘입어 수학을 발전시켰었다. 현재 우리들이 사용하는 1,2,3,…,9 등의 수 표현은 모두 서기 1∼2세기에 인도에서 사용되어지기 시작했고, 0은 조금 늦은 6세기경에 발명되었다. 같은 수를 몇 번씩 곱할 때의 표현 방법을 최초로 사용한 사람은 9세기경의 아라비아 수학자 알콰리즈미(Alkhwarizmi;780∼850)였다.이것이 1586년 스테빈(Stevin, S.;1548∼1620)에 의해 1제곱은 ①로, 2제곱은 ②로 표시하는 즉, 2x2+3x1을 2②+3①로 나타내는 등의 방법이 현재 우리가 사용하는 지수의 형태로 쓰여지게 된 것은 데카르트(Descartes, R.;1596∼1650)의 공로이다. 이로인해 수식의 계산이 보다 간단히 이루어지게 되었다.
엉 터 리 수 학
서정이는 수학 선생님에게 "임의의 수 a는 0과 같다."는 것을 증명할 수 있다고 하면서 다음과 같이 증명(?)해 보였다.
a=b라 할 때, 식의 양변에 같은 수 a를 곱하면,
a2 = ab
또, 양변에서 b2을 빼면,
a2 - b2 = ab - b2
이것을 인수분해하면,
(a+b)(a-b) = b(a-b)
양변을 (a - b)로 나누면,
a + b = b
양변에서 b를 빼면, 결국 a = 0
에헴 ! ! ! 서정이는 자못 의기양양하기까지 하다.
앞의 증명의 어느 부분이 잘못된 것인지 알아보기 위해 a에 실제로 수를 대입해 보자.
a = 2 = b라 하면,
1식: 2 = 2
2식: 22 = 2 × 2
3식: 22 - 22 = 2 × 2 - 22
4식: (2 + 2)(2 - 2) = 2 (2 - 2)
5식: 2 + 2 = 2
6식: 2 = 0
여기서, 4식에서 5식으로 넘어갈 때, (2 + 2)·0 = 2·0이 2 + 2 = 2가 되어 5식이 틀렸음을 알 수 있다. 왜냐하면, 0으로는 다른 수를 나눌 수 없기 때문이다.
즉, 는 불능이다.
파스칼의 삼각형
n을 자연수라 할 때, 곱셈 공식을 이용해서 (a + b)n을 전개해보자.
( a + b )1 =
a + b 를 곱하면,
( a + b ) 2 =
a + b 를 곱하면,
( a + b ) 3 =
앞의 계산법에서 ↙는 a를 곱하는 것을 나타내고,↘는 b를 곱하는 것을 나타낸다.
여기서, 계수만을 나타내면 오른쪽과 같고, 각 단계의 숫자는 오른쪽 위의 수와 왼쪽 위의 수의 합으로 되어 있음을 알 수 있다.
이 사실에서, n의 값에 따른 (a+b)n을 전개하였을 때 각 항의 계수는 위와 같은 파스칼의 삼각형으로 구할수 있다.
파스칼의 삼각형 ⇒
파스칼의 계산기 ⇒
프랑스의 수학자 파스칼(Pascal,Blaise.1623 ∼1662)은 수학에 대한 전문적인 교육은 받지 않았지만, 어린 시절부터 수학 연구를 시작하여 14세 때 프랑스의 기하학자들이 조직한 기하학회에 나갈 정도였다. 2년후, 그는 그 클럽에서 자신이 발견한 원뿔곡선에 관한 정리를 발표하고, 그 후에도 여러 가지 중요한 논문을 발표하였다. 또, 1642에는 세계 최초의 수동식 계산기를 만들었는데, 그 후 8년에 걸쳐 이것을 개량하여 판매 특허를 얻기도 하였다. 특히, 파스칼은 확률의 이론적 기초에 공헌하였는데, 위의 파스칼의 삼각형은 이 연구 과정에서 발견된 것이다.

키워드

식,   관련,   이야기,   갈릴레이,   해시계,   관찰과태도