정오각형(수학교재연구및지도법)

목차

[StepⅠ] 다음 오각형의 중점을 연결하여 작은 오각형을 만들어 보자.

[StepⅡ] 1단계에서 만든 오각형과 그 내부의 오각형의 둘레의 비와 넓이의 비를 구해보자.

[StepⅢ] 다른 오각형에서도 2단계와 같은 결과인지 확인해보자.

[StepⅣ] 정오각형인 경우에도 중점을 연결하여 만들어진 연속한 정오각형 사이의 둘레의 비와 넓이의 비가 일정한지 알아보자.

[StepⅤ] 정오각형인 경우 둘레의 비와 넓이의 비가 일정함을 증명해보자.

본문내용

정오각형(수학교재연구및지도법)
[StepⅠ] 다음 오각형의 중점을 연결하여 작은 오각형을 만들어 보자.



[StepⅡ] 1단계에서 만든 오각형과 그 내부의 오각형의 둘레의 비와 넓이의 비를 구해보자.
☞ GSP를 활용하여 확인한 결과, 처음 오각형과 다음 오각형 사이의 둘레의 비와 넓이의 비가 일정하지 않음을 확인하였다.
[StepⅢ] 다른 오각형에서도 2단계와 같은 결과인지 확인해보자.
<사례1>
<사례2>
☞ 다른 경우에도 마찬가지로 연속해서 만들어진 오각형들 사이의 둘레의 비와 넓이의 비가 일정하지 않음을 확인하였다.
[StepⅣ] 정오각형인 경우에도 중점을 연결하여 만들어진 연속한 정오각형 사이의 둘레의 비와 넓이의 비가 일정한지 알아보자.
(정오각형의 경우, 중점을 연결하여 만들어진 오각형도 정오각형임을 알고 있다.)
<사례1>
<사례2>
☞ 정오각형의 경우 둘레와 비와 넓이의 비가 일정함을 확인하였다.
[StepⅤ] 정오각형인 경우 둘레의 비와 넓이의 비가 일정함을 증명해보자.
(1) 정오각형의 둘레의 비
① 정오각형 ABCDE를 그린다. 그리고 각 변의 중점을 연결하여 정오각형 FGHIJ를 그린다.
② 정오각형의 각 변의 길이는 동일하므로, 정오각형 ABCDE와 정오각형 FGHIJ의 둘레의 비는 각각의 한 변의 길이의 비를 구하는 것만으로도 충분하다.
증명) 그리고 라고 하자. [그림1 참고]
그러면 이고, 이므로,
제1코사인법칙에 의하여, 이다.
따라서, 로써 일정하다.
[그림1]
(2) 정오각형의 넓이의 비
① 정오각형 ABCDE를 그린다. 그리고 각 변의 중점을 연결하여 정오각형 FGHIJ를 그린다.
② 정오각형의 넓이는 외접원의 중심에서 각 꼭지점으로 그은 선분으로 만들어진 다섯 개의 이등변삼각형의 넓이의 합과 같으므로, 정오각형 ABCDE의 이등변삼각형 OAB와 중점을 연결하여 만든 오각형 FGHIJ의 이등변삼각형 OFG의 넓이의 비를 구하는 것만으로도 충분하다.
증명) 외접원의 중심 O에서 각 꼭지점까지의 길이를 이라고 하자. [그림2 참고]
이고, 는 를 수직이등분하는 수선의 발이다.
그리고 이다.
이때, 제1코사인법칙에 의하여,
이고,
[그림2]
피타고라스의 정리에 의하여, 이므로,
[그림2]의 는 중점을 연결하여 만든 정오각형의 중심과 꼭지점을 연결한 선분으로, [그림3]의 이등변삼각형 OFG의 빗변이다.
따라서 라고 하자. (i.e. )
그리고 이등변삼각형 OAB의 넓이를 S1 이라고 하고,
이등변삼각형 OFG의 넓이를 S2 라고 할때,
[그림3]
이므로, 로써 비율이 일정하다.
☞ 5단계의 증명을 통해 정오각형의 경우에는 중점을 연결하여 만든 정오각형과의 둘레의 비와 넓이의 비가 일정함을 확인하였다.

키워드

정오각형,   수학교재연구및지도법,   정오각형과의 둘레의 비와 넓이의 비가 일