광운대학교 3-2 제어시스템설계 Project for Control System Design

소개글

광운대학교 3-2 제어시스템설계 Project for Control System Design에 대한 보고서 자료입니다.

목차

1] Select a dynamic system. The best way to do this is to find a paper on the web. When you
write the final report, include the document or the paper you’ve found.
2] Write the equations of motion of the system.
3] Represent the system in the state space.
4] Determine the performance index (settling time, max. overshoot, etc.).
5] Is the system controllable? Assuming all state variables are measurable, design a state
feedback controller. Design two controllers as follows. See Sections 7.5.1 and 7.6.
a) A controller satisfying the performance specification obtained in Step 4.
b) A controller using the symmetric root locus.
Note that for the case b), the performance can be different from that of a).
6] Is the system observable? Design state estimators for this system. See Section 7.7.
a) Design a full order estimator.
b) Design a full order estimator using the symmetric root locus.
c) Design a reduced order estimator.
7] Combine the state feedback controller and the state estimator. (See Section 7.8) Assuming
that the reference input to the system is nonzero, modify the feedback loop to effectively cope
with nonzero constant reference input. (See Section 7.9) What is the difference between two
designs (with and without the gains multiplied to the reference input)?
8] Repeat 7] by using the integral controller.
9] You have two controllers, three estimators, and two mechanisms to cope with constant
reference. What do you think is the best combination? Explain and discuss in detail.
Note: When doing 9], you may discuss the effect of disturbance (step, ramp, sinusoidal, etc.)
and the parameter uncertainty (about 10%).

본문내용

ettling time, max. overshoot, etc.).
에 대한 settling time을 5초 보다 작게 설정. (settling time) :
의 rise time은 1초 보다 적게 나오도록 설정. (rise time) :
에 대한 Overshoot은 20도 보다 작도록 정하겠다. (, 5%)
(max. overshoot) :
Steady state error 1% 이내로
(damping ratio) : 0.7이상이 되어야한다.
그림 1 그림2
그림3
그림1에서 와 의 관계로 인하여
5] Is the system controllable? Assuming all state variables are measurable, design a state feedback controller. Design two controllers asfollows. See Sections 7.5.1 and 7.6.
a) A controller satisfying the performance specificationobtained in Step4.
b) A controller using the symmetric root locus.
Note that for the case b), the performance can be different from that of a).
문제3에서 구한 상태방정식을 아래와 같이 나타내자.
이제 변수를 다음과 같이 임의의 값으로 설정해주어 A Matrix의 과 B Matrix의 을 정해주자.
지면을 아스팔트, cart의 바퀴를 고무라고 가정하여 아래와 같은 마찰계수를 찾아 실질적인 b값 0.5를 잡았다.
이제, 임의로 정한 값을 대입하여 간당하게 정리한다.
우리가 정한 System인 Inverted Pendulum의 Controllable을 구하기 위해서는 Controllability matrix 를 구해서 singularity를 판단한다. 즉, 의 determinant가 0이 아니고, 이 존재하면 Controllable하다고 말할 수 있다.
p32
이는 매트랩 mfile을 작성하여 확인을 해준다.
위의 결과로 Inverted Pendulum 시스템은 Controllable하다.
이제 와 를 구하여 canonical form으로 바꿔 주자.
이 과정을 거처
Transformation T
와
Canonical Form
을 구하였다.
우리는 state 에 관심이 있다.
앞에서 구한 상태방정식 의 결과를 통하여
State 변수 에 관심이 있을 때는 C의 1행으로 그리고 에 관심이 있을 때는 C의 2행으로 아래의 과정을 통하여 전달함수를 구한다.
위 두 전달 함수의 pole을 구해 보면 다음과 같게 구할 수 가 있다.
a) A controller satisfying the performance specificationobtained in Step4.
문제4에서 설정한 값들에 의해 s 영역에서의 domain specifications region을 그려준다.
여기서의 교점은 (-0.92, 0.9536) 이므로 pole의 위치를 (-5, 1)로 두겠다.
여기서의 교점은 (-0.92, 0.9536) 이므로 pole의 위치를 (-5, 1)로 두겠다.
우리가 정한한 것은 4차 시스템에 대한 폐루프의 pole을 가지고 있다. 따라서 위에서 그린 domain specifications region을 기준으로 우리가 정한 pole들을 제외하고 멀리 떨어 트리겠다. 이는 멀리 떨어트린 pole들은 감쇠비가 크기 때문에 빨리 수렴하므로 무시 할 수 있다는 아래의 설명을 통해 나머지 pole들을 이동시킨 이유이다.
5장의 강의 자료 - 32page
7장의 강의 자료 - 72page
이제 위의 설명들을 토대로 나머지 pole의 위치를 정한다. 나머지 pole들은 우리가 정한
-51의 3~4배 떨어진 곳으로 위치를 시킨다. 즉, 나머지 pole 2개를 20, -20 으로 두자.
이제 제어기를 설계할 토대를 마련하였다. 우리가 정한 pole -51, -20, -20을 가지고 을 구해주고 우리가 구한 A matrix를 s대신에 대입하여 준다.
matlab으로 확인하여 준다.
-Ackerman 공식 연산
matlab으로 확인하여 준다.
-Ackerman 명령어인 acker(F, G, pc)
입력명령에 대한 극 배치 설계의 과독응답을 연구하기 위해서 시스템에 기준입력을 도입할 필요가 있다. 이러기 위해서는 제어를 로 바꾼다. 계단입력에 대하서 시스템은 0이 아닌 정상상태 오차를 가진다. 이를 해결하기 위하여 출력오차를 0으로 하는 제어입력의 정상 상태 값을 계산하여, 그 값들을 갖도록 한다.
상태와 제어입력의 원하는 최종 값이 와 라 하면,
일 때 이다.
정확한 최종 값을 얻기 위해서는 시스템이 어떠한 상수입력에서도 0의 정상상태 오차를 갖도록 방정식을 푼다.
시스템 미분 방정식 표준형
정상상태에서의 식
의 어떤 값에 대해서도 가 되도록.
라 놓는다.
와 에 대해 푼다.
기준입력을 가진 제어 방식
위의 과정을 우리 모델에 적용시키는데 다음을 전제로 한다.
이 과정에서 우리는 를 항상 0으로 수렴하고, 를 referece를 추종하도록 에 대한 제어를 진행하겠다. 따라서 state variable x의 1행 1열인 를 제어를 위해 으로 두어 가 우리가 설정할 reference를 잘 따라 가도록 한다.
=
Nu =
0
+(-422.4638)r
이제 우리가 구한 입력을 가지고 Feedback Diagram을 그려본다.
옆의 식을 이용하여 Refernce를 가지는 State Feedback의 Block Daigram을 구할 수 있다.
시뮬링크 State Space box 에 나오는 출력(오른쪽)은 으로 나오기 때문에 C행렬과 D를 다음과 같이 설정해 주어 출력으로 나오는 부분을 가 나오도록 해준다.
그리고 Gain에 대해서 Matrix가 곱해지도록 설정해준다.
제어게인 [0 0 0 0]으로 제어기를 두지 않았을 경우와 두었을 때와 비교하여 본다.Step input을 1로 주고 각 State들이 어떻게 나오는지 확인해준다.
옆은 Gain을 안 두었을 때( 즉, 제어기를 안 주었을

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