테브난 정리 증명

소개글

테브난 정리 증명에 대한 보고서 자료입니다.

본문내용

한 방법이기 때문에 우리 앞에 거칠 것은 없다. 전기전자 공학을 공부하는 사람들 주위에 테브난 등가회로가 유령처럼 배회하고 있다. 공학자들이여 테브난 등가회로를 처리하기 위해 총 단결하라! 아작을 내 보기로 하자!
테브난의 등가회로로 고치기 위해 테브난 등가전압과 테브난 등가저항 구하는 방법은 아래와 같다고 했다. 흔히 사용하는 방법이다.
① 부하저항이 있는 두 단자 a-b를 개방 ( open ) 하고, 이때 걸리는 전압을 구해
VTh 라고 둔다.
② 부하를 제외한 회로망 안에서 독립 전압원은 단락시키고, 독립 전류원은 개방
시켜, a-b단자에서 바라본 저항을 구해 RTh 라고 한다.
부하를 개방시키면 테브난 등가전압을 구할 때 부하저항과 함께 붙어 있던 R3는 없는 자식 취급하면 된다. 이보슈 R3가 멀쩡히 보이는데 없는 셈 치라니 무슨 근거라도 있소? 하고 되물으면 예전에 설명 했던 것을 다시 재탕 하는 수밖에 없다. 마지막으로 재탕하니 양해를 바란다.
아래 그림을 생각해 보기로 한다. R3 전단에는 싸잡아서 임의의 전압이 걸려 있다고 생각하면 된다. 실제로 R3 전단에는 전압이 분배되어 어떤 전압이 걸리게 되어 있다. 그 전압을 VS라고 가정하자.
VX를 구하는 식을 조립시켜준다.
그런데 지금 부하저항을 개방 했다고 했으니, 저항이 무한대라고 생각해도 된다. 그러므로 식은 아래와 같이 간단하게 변한다.
무한대 기호를 수식에서 사용하는 것은 수학에서는 학을 띠고 금기시 하는 사항이겠지만 공학에서는 별로 문제 되지 않는다. 그저 아주 큰 수라고 치부하면 된다. 그러므로 R3는 ∞Ω 에 비해서는 조족지혈이므로 무시하면 된다. 전압입장에서 보면 R3는 아예 어떤 전압도 걸리지 않는 저항이 되므로 회로적으로는 사실상 폐기처분 된다. 그래서 회로를 개방시킨다는 다른 의미는 다른 저항과 직렬로 연결 되어 있을 때, 직렬로 연결된 저항이 큰 값이라도 무시하고 개방단자에 전압이 다 걸려 버린다는 것을 함의 하고 있다.
이리하야 실제 회로보다 우리가 원하는 값을 구하는 것이 훨씬 쉬워졌다. 이것만으로도 테브난 등가가 위력을 발휘하는데 복잡한 회로망이야 말해 무엇 하겠는가! 주변을 빙빙도는 말은 접어 두고 값을 구해 보자.
①번 방법은 테브난 등가전압을 구하는 원칙이다. 눈으로 봐서도 직바로 값이 보인다. 전압 분배 법칙씩이나 적용하면!!
②번 방법은 테브난 등가저항을 구하는 원칙이다. 이때는 R3도 알뜰하게 챙겨 주어야 한다. 개방이고 단락이고 저항은 온전하게 구해 주어야 하기 때문이다. 직류전원은 이상적으로 생각해야 하기 때문에 내부저항을 0Ω으로 단락시켜 버린다.
개방단자에서 이제 거꾸로 직류전원이 있는 쪽 방향으로 예리하게 째린 전체 저항이 바로 테브난 등가저항이 되겠다. 합성저항 구하는 것은 거저먹기다. R1과 R2가 병렬이고, 이 합성저항이 R3와 직렬이 된다.
테브난 등가전압과 테브난 등가저항의 값을 구하였으므로 부하가 걸려 있는 테브난 등가회로를 그림으로 그릴 수 있게 되었다. 울타리 안에 전압원과 직렬저항이 테브닌 정리에 따라 계산해서 그려낸 테브난의 등가회로이다.
테브닌의 등가회로가 일단 완성 되었다. 부하저항에 흐르는 전류는 Ieq가 되어 테브닌 등가회로에서는 다음과 같은 식으로 표현이 된다.
요는 Ieq와 식 (5)에서 구한 IL이 같으면 테브닌의 정리는 꽤 쓸만한 정리가 되는 것이다. (8)식에 식 (6)의 테브닌 등가전압 VTh와 식 (7) 테브닌 등가저항을 대입한다.
결론적으로 실제회로를 대상으로 부하저항에 흐르는 전류 IL을 계산한 식 (5)와 테브닌 등가로 변환하고 부하에 흐르는 전류로 구한 식 (9)의 Ieq는 같다는 것을 확인할 수 있다.
일치한다!!
한가지 부가적으로 우리가 얻어 낼 수 있는 정보는 임의의 부하저항을 개방하거나, 회로를 개방한다는 것의 의미를 깨닫게 해 준다는 것이다. 개방의 의미는 개방단자에서 안의 회로를 볼 때 테브난의 등가 회로적으로 안쪽의 회로들을 돌려 버린다는 의미도 내포하고 있는 것이다. 그 동안 아무런 배경 설명 없이 회로를 개방한다는 속내를 알아 버린 것이다. 이것만 해도 적지 않은 소득이 아니겠는가! 그러나 개방 했다고 테브난 정리가, 단락했다고 노튼의 정리가 무제한적으로 적용되는 것은 아니다. 약삭 빠르게 분별은 해 줘야 한다.

석연치 않았던 테브난의 등가회로를 조립하는 방법이 틀리지 않으며 적용 가능하다는 것이 명징하게 검증되었다. 또 하나의 산은 테브난 정리와 더불어 단짝으로 고려해 주던 노튼의 정리가 되겠다. 테브난 등가회로에서 약간의 조작으로 노튼의 등가회로롤 변환시키는 것이 아닌 또 하나의 약식증명으로 검증이 된다.
테브난정리에서 노튼의 정리로 넘어가는 것은 전압원을 전류원으로 금새 바꿀 수 있으므로 노튼의 정리가 약간 홀대를 받아 온 것이 사실이지만, 검증하는 방법상으로는 동등하게 값어치를 한다는 것을 알아주어야 한다. 보통 짝으로 생각해 줘야 한다고 하면서 방점은 테브난 정리에 찍혀 있음을 부인할 수 없다. 회로를 전압 보다는 전류를 기준으로 두고 해석하는 사람들에게는 안타까운 현실이지만 말이다. 테브난의 정리가 1883년에 발표 되었고, 노튼의 정리가 1926년에 발표 되었던 것을 보면 노튼의 정리도 녹록치 않음을 시간의 간격으로 가늠 해 볼 수도 있지 않을까?
역사에서는 어려운 난관에 대해 영웅적 주인공이 간단하게 한방 먹임으로 상황이 풀리는 경우가 왕왕 있었다. 알렉산더는 고르디아스의 매듭을 풀라는 과제가 주어졌을 때 여인네 마냥 조신하게 마냥 앉아 꼼꼼히 매듭을 풀어낸 것이 아니라, 차고 있던 칼로 단번에 내리쳐 ( 매듭이 크고 복잡하게 꼬여 있으므로 상상하기로는 도끼로 장작 패는 사람처럼 미친 듯이 내리쳤을 것이다. ) 아시아를 제패하였거니와, 콜럼버스도 친구들에게 달걀을 깨서 아랫부분을 뭉그려 뜨려 도저히 세워질 것 같지 않은 달걀을 세워 보였듯이, 공학에서는 인구에 회자 될 만한 영웅적 한방이 좀처럼 통하지는 않는다. 한삼모시 짜는 여인네의 끈기처럼 책상머리에 앉아 정리하고 증명해야만 영웅이 될 수 있다는 점에서 노튼의 노고도 테브난처럼 치하해 줄 만 한 것이 아닌가!

키워드

테브난 정리,   테브낭 정리,   테브닌 정리,   Thvenin's theorem