기체 분자 운동론

소개글

기체 분자 운동론에 대한 보고서 자료입니다.

목차

1. 아보가드로 수와 이상기체
2. 등온팽창과 등온압축
3. 제곱평균제곱근 속력
4. 병진운동에너지
5. 평균 자유 거리
6. 분자의 속력 분포
7. 이상기체의 몰비열
8. 자유도와 몰비열
9. 이상기체의 단열팽창

본문내용

52년, 스코틀랜드의 물리학자인 은 기체 분자들의 속력 분포를 찾기 위한 방정식을 세웠다. 그가 찾은 결과인 의 속력 분포 법칙은 아래와 같다.
여기서 은 기체의 몰 질량이고, 은 기체 상수, 는 기체의 온도, 는 분자의 속도이다. 그리고 는 확률 분포 함수로서 차원이 없으며 는 어떤 속력을 중심으로 간격에 놓인 속력을 갖는 분자들의 비율이다. 우리는 식을 정적분하여 속력이 인 입자들과 인 입자들 사이에 놓인 분자들의 비율을 계산할 수 있다.
또한, 우리는 원칙적으로 특정 온도에서 기체 분자들의 평균속력을 구할 수 있다. 우리는 입자의 평균속력을 구하는 과정에서 각각의 값에 대하여 를 중심으로 의 간격에 놓인 속력을 갖는 분자들의 비율인 를 곱하여 가중치를 둘 수 있다.
그리고 의 식을 계산하기 위해 의 식을 이용하자.
여기서, 에 해당하며, 이므로 이를 적용하면, 아래와 같다.
즉, 식을 간단히 정리하면 우리가 구하고자 하는 식인 평균속력에 관한 식이 나온다.
마찬가지로 속력을 구할 수 있다.
여기서 식을 아래와 같이 정리할 수 있다.
식을 해결하기 위해 식을 이용할 수 있다.
7. 이상기체의 몰비열
우선 이상기체가 헬륨, 네온, 아르곤과 같은 단원자 기체라고 가정하자. 또한 이상기체의 내부에너지는 단순히 원자들의 병진 운동 에너지의 합이라고 가정한다. 이때 기체의 내부에너지는 아래와 같이 나타낼 수 있다.
그리고 한 개의 입자에 적용되는 운동 에너지는 아래와 같이 정의된다.
여기서 식에 식을 대입하면 아래와 같다.
그리고 볼츠만 상수는 다음과 같이 정의된다.
즉, 식에 식을 대입하면, 아래와 같은 식을 얻을 수 있다.
우리는 식을 통해 이상기체의 내부에너지는 단지 온도 만의 함수이며 다른 변수에는 의존하지 않는다는 사실을 알 수 있다.
1) 부피가 일정할 때의 몰비열
압력 , 온도인 이상기체 이 고정된 부피 의 원통에 들어 있다고 가정하자. 여기에 열에너지를 추가한다고 가정하자. 원통 내 기체에 열에너지를 제공하면 기체의 온도는 로 올라가고, 압력은 로 증가한다. 이를 식으로 나타내면 다음과 같다.
여기서 는 등적 몰비열이라고 하며, 이를 열역학 제1법칙에 대입하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.
이때 부피가 일정하게 유지되므로 기체는 일하지 않는다.
또한, 의 식이 성립되므로 이 식을 식에 대입하자.
그리고 기체 입자의 내부에너지에 관한 식은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
여기서 식과 식은 ‘갇혀 있는 이상기체의 내부에너지 변화는 기체의 온도 변화에만 의존하고, 온도를 변화시키는 과정에 대해서는 무관하다’라는 의미를 내포하고 있다.
2) 압력이 일정할 때의 몰비열
이번에는 압력이 , 온도가 인 이상기체 이 들어 있는 원통에 일정한 압력하에서 열을 가해 기체 입자의 온도를 만큼 올렸다고 가정하자. 이때 가한 열은 온도변화와 관계가 있다.
여기서 를 등압 몰비열이라고 하며 이러한 등압 몰비열은 등적 몰비열보다 큰 값을 갖는다. 위에서 했던 것과 마찬가지로 열역학 제1법칙에서 시작해보자.
또한, 열은 압력과 부피 변화의 곱으로 주어지므로 식에 식과 열에 대한 식을 대입하면 아래와 같은 식으로 표현할 수 있다.
그리고 이상기체 상태 방정식에 의해 의 식이 성립되므로 이 식을 식에 대입하면 아래와 같은 식을 얻을 수 있다.
식의 양변을 로 나누어보자.
여기서 이므로, 의 식이 성립된다. 이 식을 통해, 등압 비열의 값이 등적 비열의 값보다 크다는 사실을 알 수 있다.
8. 자유도와 몰비열
단원자 기체의 경우, 정적 비열의 예측값은 식을 만족한다. 하지만, 이원자나 다원자 기체의 경우 식이 잘 들어맞지 않는다. 그 이유는 두 개 이상의 원자로 된 분자들이 병진운동에너지 이외에 다른 형태로 내부에너지를 저장할 가능성이 있기 때문이다. 이에 기체에 에너지가 저장되는 다양한 방법들을 정리하기 위해 James Clerk Maxwell은 에너지 등분배 정리를 도입하였다. 그는 모든 종류의 분자들이 자유도를 가지고 있다고 말했다. 여기서 자유도란 분자나 에너지를 저장할 수 있는 독립적인 방법이다. 각 분자당 평균적으로 의 에너지를 가진다. 하지만, 실제로 모든 기체 분자는 세 파동축의 모든 방향으로 운동할 수 있따. 즉, 모든 기체 분자의 자유도는 3이며, 평균적으로 분자당 의 에너지를 가진다. 더 나아가 다원자분자의 경우에 한 해 각 기체는 추가로 3개의 회전 자유도를 가지므로 평균적으로 분자당 의 에너지를 가질 수 있다. 다만, 이는 다원자 분자에 대해서만 성립한다는 것이다. 분자와 원자의 가능한 운동과 에너지를 다루는 양자론에 따르면, 단원자 기체 분자는 회전을 하지 않으므로 회전 운동 에너지가 없다. 이원자 분자는 두 원자를 잇는 선에 수직한 쪽에 대해서만 팽이처럼 회전할 수 있지만, 선 자체에 대해서는 회전할 수 없기 때문에 이원자 분자의 회전운동 자유도는 2이고 분자당 의 회전 운동에너지를 갖는다.
자유도
몰 비열 예측값
병진운동
회전운동
총 자유도
단원자
3
0
3
이원자
3
2
5
다원자
3
3
6
9. 이상기체의 단열팽창
인 과정을 단열과정(adiabetic process)이라고 부른다. 피스톤 내에 이상기체가 갇혀 있으며 피스톤 위를 누르는 물체의 무게를 감(減)하여 부피를 만큼 증가시킨다고 가정하자. 그리고 이때 피스톤에 작용하는 기체의 압력는 일정하다고 가정하자. 그리고 주변과의 열교환이 없다고 가정하자.
식을 정리하면 의 식을 구할 수 있는데 위 식의 양변에 를 나누면 아래와 같이 나타낼 수 있다.
여기서 로 놓으면, 식을 다음과 같이 나타낼 수 있다.
그리고 식을 적분하자.
우리는 식을 이용하여 다양한 등식을 세울 수 있다. 먼저, 이므로 의 식이 성립한다. 또한, 라는 식에서 이므로, 라는 식이 성립된다. 즉, 라는 식을 통해 의 식 또한 도출할 수 있다. 더 나아가 내부에너지 변화가 없을 때 와 기체가 한 일이 없을 때의 단열과정을 자유 팽창의 과정이라고 한다. 이때, 이므로 초기 상태의 온도는 최종 상태의 온도와 같아야 하며 이상기체 상태 방정식에 따라 온도 변화가 없으므로 의 식이 성립된다.

키워드

단열팽창,   RMS속도,   이상기체,   평균자유거리,   제곱평균제곱근 속력,   아보가드로 수,   등압비열과 등적비열,   기체상수,   볼츠만 상수