전기용량에 대하여

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전기용량에 대하여에 대한 보고서 자료입니다.

목차

1. 전기용량
2. 축전기 대전시키기
3. 평행판축전기의 전기용량 계산
4. 원통형 축전기
5. 구형 축전기
6. 축전기의 병렬 연결
7. 축전기의 직렬 연결
8. 전기장에 저장된 에너지
9. 축전기의 에너지 밀도
10. 유전체를 넣은 축전기
11. 원자의 관점에서 바라본 유전체
12. 유전체와 Gauss의 법칙

본문내용

는 다음과 같다.
그리고 [그림 4]의 복잡한 회로를 단순화하여 [그림 5]와 같이 바꾸었을 때, 등가전기용량에 대한 식은 아래와 같이 나타낼 수 있다.
또한, 축전기 개가 병렬 연결되어 있다고 할 경우 아래와 같은 식으로 나타낼 수 있다.
7. 축전기의 직렬 연결
직렬 연결에서는 축전기가 하나의 끝에서 다른 끝으로 연결되어 있으며, 퍼텐셜차 가 전체 축전기의 양 끝에 걸린다. 즉, 퍼텐셜차 가 직렬 연결한 여러 개의 축전기에 걸리면, 축전기는 같은 전자 를 갖는다. 여기서 모든 축전기 사이의 퍼텐셜차의 합은 전체 퍼텐셜차 와 같다. [그림 6]에서 직렬 연결된 축전기들은 동일한 전하 와 같은 전체 퍼텐셜과 를 갖는 하나의 등가 축전기로 바꿀 수 있다. 이를 나타낸 것이 [그림 7]이다. 또한, [그림 6]에서는 아래와 같은 식이 성립된다.
그리고 전지의 퍼텐셜차 는 세 축전기의 퍼텐셜차의 합이므로 아래와 같이 나타낼 수 있다.
그리고 이때 등가 전기용량은 다음과 같이
나타낼 수 있다.
식과 식을 연립하면 이므로
의 결과를 통해 임의의 개 축전기에 대해 아래와 같은 식을 도출할 수 있다.
우리는 식으로부터 등가 전기용량은 직렬 연결된 축전기 중 가장 작은 전기용량의 값보다 항상 작다는 것을 알 수 있다.
8. 전기장에 저장된 에너지
한 극판에서 다른 극판으로 전하 를 옮긴다고 가정하자. 이때 극판들 사이의 퍼텐셜차 은 일 것이다. 한편 추가로 옮길 전하가 라면 추가로 해야 할 일은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
즉, 축전기를 최종값 까지 대전시키는데 필요한 일을 계산하면 다음과 같다.
식을 통해 구한 일은 퍼텐셜 에너지 로 축전기에 저장된다.
또한, 의 식이 성립하므로 식은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
퍼텐셜 에너지는 대전 된 축전기의 두 극판 사이의 전기장에 저장된다 전기용량은 축전지 극판의 면적에는 비례하나 두 극판 사이의 거리에는 반비례한다.
우리는 식을 통해 축전기의 극판 면적이 넓으면 저장되는 퍼텐셜 에너지가 증가함을 알 수 있으며 반대로 두 극판 사이의 거리가 멀면 멀수록 전기용량이 감소하여 저장되는 퍼텐셜에너지 량이 감소한다는 사실을 알 수 있다.
9. 축전기의 에너지 밀도
평행판축전기의 가장자리에 극판 사이의 전기장은 모든 곳에서 같은 값을 갖는다. 즉, 극판 사이의 단위 부피 당 퍼텐셜 에너지인 에너지 밀도는 균일하다. 는 전체 퍼텐셜 에너지를 극판 사이의 부피로 나누어 구할 수 있다.
또한, 의 식이 성립하므로 다음과 같은 식을 나타낼 수 있다.
그리고 의 식이 성립하므로 이를 식에 대입하자.
식에서 의 식이 성립하므로 식을 간단히 정리하면 아래와 같다.
우리는 식을 이용해 어느 곳이라도 전기장이 주어지면 에너지 밀도를 구할 수 있다.
10. 유전체를 넣은 축전기
1837년, Michael Faraday는 유전체라는 물질에 관해 연구하기 시작했다. 유전체란 기름이나 플라스틱과 같은 절연체 물질이다. 그는 물질마다 다른 비율로 전기용량이 배로 증가한다는 것을 알았으며 이를 유전 상수라고 불렀다. 진공의 유전 상수를 1이라고 할 때 공기는 1.0054, 종이는 3.5 수준의 유전 상수를 갖는다. 티타늄 세라믹의 경우 유전 상수는 130에 달하며 스트론튬 티타네이트는 310에 달한다. 이때 각 물질의 전기용량은 유전율과 깊이의 차원을 갖는 값을 곱하여 나타낼 수 있다. 이때 깊이의 차원을 갖는 를 라는 기호를 이용하여 나타낸다.
또한, 어떠한 축전기의 전기용량도 아래와 같은 식을 만족한다.
Michael Faraday는 평행한 두 극판 사이의 공간을 완전히 유전체로 채울 경우 아래와 같은 색이 성립함을 발견하였다.
여기서 은 두 극판 사이를 공기로 채웠을 때의 전기용량이다. 만약, 두 극판 사이를 유전 상수가 310인 스트론튬 티타네이트로 채운다면 전기용량은 공기의 전기용량에 대한 310배가 될 것이다. 또한, 유전 상수는 Gauss의 법칙과 일반적인 전기장 식에 영향을 줄 수 있다.
11. 원자의 관점에서 바라본 유전체
전기장 내에 극성 유전체와 비극성 유전체를 넣었다고 가정하자. 먼저, 극성 유전체의 경우를 생각해보자. 물과 같이 영구 전기 쌍극자모멘트가 있는 물질의 경우, 외부 전기장의 방향으로 정렬하려고 한다. 이러한 극성 분자들은 가해진 전기장의 크기가 증가할수록, 온도가 감소하여 분자들 사이의 부딪침이 줄어들수록 더욱 정렬이 잘 된다. 이때 전기쌍극자의 정렬은 가해진 외부 전기장에 대해 반대 방향이며 크기가 작은 새로운 전기장을 생성한다. [그림 8]에서 두 극판 사이에 의 전기장이 주어진다고 가정하면, 전기장에 의해 정렬된 분자들의 장은 외부 전기장과 반대 방향이다. 즉, 순 전기장(net electric field)은 와 의 합력으로 나타난다.
다음으로 비극성 유전체의 경우에 대해 생각해보자. 극성을 띠지 않는 분자들도 영구 전기 쌍극자 모멘트가 없더라도 외부 전기장에 놓일 때 쌍극자모멘트가 유도된다.
12. 유전체와 Gauss의 법칙
앞서 유전체가 없는 경우, 극판 사이의 전기장 를 구해보았다. 는 다음과 같이 구할 수 있다.
식에서 에 대한 식으로 나타내면 다음과 같다.
하지만, 유전체가 극판 사이의 공간에 채워진 경우, 유전 상수를 고려해야 한다. 유전체 판이 없는 [그림 9]와 비교했을 때 두 극판 사이에 유전체가 있는 [그림 10]의 경우에는 Gauss면이 두 종류의 전하를 둘러싼다.
[그림 10]에서 보는 것과 같이 Gauss면은 극판에 있는 전하 뿐만 아니라 유전체의 위쪽 면에 있는 유도된 전하 도 둘러싼다. 이때 Gauss면에 의하여 둘러싸인 알짜 전하는 이므로 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.
식을 에 관한 식으로 나타내자.
또한, [그림 10]과 같이 유전체가 판에 삽입될 경우, 전기장 은 유전체 고유의 유전 상수 만큼 약해진다.
식과 식을 연립하면 다음과 같은 등식을 얻을 수 있다.
이때 와 식을 통해 식을 도출할 수 있다. 이때 의 값은 음수가 될 수 없으므로 항상 는 보다 커야 한다. 그리고 식에 대입하면 유전체에서의 Gauss 법칙을 도출해낼 수 있다.

키워드

원통형 축전기,   구형 축전기,   직렬 연결과 병렬 연결,   Gauss의 법칙,   등퍼텐셜면,   전기퍼텐셜,   전기용량,   평행판축전기,   일반물리학