가설검정

목차

1.서론
가설(Hypothesis)
제 1종의 오류(TypeⅠ Error)와 제 2종의 오류(TypeⅡ Error)

2.검정
모평균에 대한 가설검정
모평균 차이에 대한 검정
대응비교(Paired T-test)

본문내용

over {S_p {root{ 1 over n_1 + 1 over n_2 }}} ~∼~ t(n_1 + n_2 -2)
,
다만
S_p = root {{ (n_1 -1 ) S_1^2 + (n_2 -1) S_2^2 } over {n_1 + n_2 -2 }}
④ 기각역을 정한다.
H_1 ~:~ mu_1 > mu_2
일 때,
T>= t_alpha (n_1 + n_2 -2)
H_1 ~:~ mu_1 < mu_2
일 때,
T<= -t_alpha (n_1 +n_2 -2)
H_1 ~:~ mu_1 != mu_2
일 때,
vert T vert <= t_alpha/2 (n_1 + n_2 -2)
⑤ 검정통계량
T
값이 기각역에 포함되는지를 비교하여 기각여부를
결정한다.
한 페인트제조회사에서는 신상품의 유성페인트를 개발했으며 기존의 페인트보다 빠르게 마른다고 선전하고 있다. 이를 확인하기 위해 시중에서 가장 인기 있는 상품과 신상품을 각각 5 종류의 벽에 칠한 후 건조 시간을 측정한 결과 아래의 표를 얻었다. 신상품은 기존의 인기 상품보다 유의 수준 95%에서 건조시간에서 더 우수하다고 할 수 있는가?
인기상품
X_1
신상품 (
X_2
)
48
46
44
46
43
42
43
45
44
43
① 귀무가설과 대립가설을 세운다.
H_0 ~:~ mu_1 =mu_2
H_1 ~:~ mu_1 > mu_2
② 유의수준
alpha
를 설정한다.
alpha =0.05
③ 검정통계량
T
값을 구한다.
BAR X_1 = 45.4
,
BAR X_2 =43.4
,
S_p = 2.55
T= {bar X_1 - bar X_2 } over {S_p {root{ 1 over n_1 + 1 over n_2 }}} = 1.98
④ 기각역을 정한다.
vert T vert >= t_0.05 (8) =1.86
⑤ 검정통계량
T
값이 기각역에 포함되는지를 비교하여 기각여부를 결정한다.
t_0.05 (8)=1.86 < 1.98
H_0
를 기각한다. 즉 신상품은 기존의 상품보다 건조시간에 있어서 더 우수하다고 할 수 있다.
1.2.3. 대응비교(Paired T-test)
앞 절에서 배운 내용은 두 표본이 두 모집단으로부터 서로 독립적으로 추출된 경우였다. 그러나 어느 실험에서 두 실험을 비교하고자 할 때에는 동질적인 실험단위를 얻기가 어려운 경우가 많다. 예를 들어 특정 두통약이 사용자의 혈압을 저하시키는지를 알아보고자 할 때, 사용자 20명을 랜덤하게 두 그룹으로 나누어 사용 전, 후를 관찰하면, 사용자의 건강 상태나 나이 등의 이유로 혈압의 저하에 변동이 심할 경우에 실제로는 혈압을 저하시키면서
S_p
의 값이 커지므로 이러한 차이를 판별할 수 없게 된다.
이와 같은 문제를 해결하기 위한 방안으로 대응 개념을 이용한다. 즉 실험단위를 동질적인 쌍으로 묶은 다음, 각 쌍의 실험단위에서 랜덤하게 선택하여 두 처리를 적용하고, 각 쌍에서 관측값의 차를 이용하여 두 모평균의 차에 관한 추론 문제를 다룰 수 있으며, 이와 같은 방법을 대응 비교라고 한다.
대응비교의 구조는 다음과 같다.
1
2
n
처리 1 (
X_1
)
X_11
X_21
cdots cdots
X_1n
처리 2 (
X_2
)
X_12
X_22
cdots cdots
X_2n
차이(
D =X_1 - X_2
)
D_1
D_2
cdots cdots
D_n
이와 같이 추출된
X_1i
와
X_2i
의 차로 만들어진
D_i
들은
X_1
과
X_2
가 정규분포를 따를 때,
H_0 ~ :~ mu_1 = mu_2
하에서 0에 관하여 대칭인 정규분포를 따른다.
D_i
가 정규분포를 따른다는 것을 이용하여 아래와 같은 두 평균의 비교 방법을 나타낼 수 있다.
먼저
D_1 ,D_2 , cdots , D_n
의 표본평균과 표본분산은 다음과 같다.
bar D = sum from i=1 to n D_i
,
S_D ^2 = {sum from i=1 to n (D_i - bar D ) ^2} over{ n-1}
① 귀무가설과 대립가설을 세운다.
H_0 ~:~ mu_1 =mu_2
H_1 ~:~ mu_1 = mu_2
(또는
mu > mu_0
,
mu_1 < mu_2
)
② 유의수준
alpha
를 설정한다.
③ 검정통계량
T
값을 구한다.
대표본일 경우 :
Z = bar D over {S_D / root n}
소표본일 경우 :
T = bar D over {S_D / root n}
④ 기각역을 정한다.
⑤ 검정통계량 값이 기각역에 포함되는지를 비교하여 기각여부를
결정한다.
특정 두통약 사용자의 혈압을 저하시키는지를 알아보기 위하여, 10명을 대상으로 두통약 사용 전, 후의 혈압을 측정한 결과 다음의 자료를 얻었다.
번 호
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
사용전(
X_1
)
75
80
72
76
70
80
78
82
90
85
사용후(
X_2
)
70
78
75
70
65
80
70
80
85
86
이 자료에 의하면, 두통약은 유의수준 95%에서 혈압을 저하시킨다고 할 수 있는가?
① 귀무가설과 대립가설을 세운다.
H_0 ~:~ mu_1 =mu_2
H_1 ~:~ mu_1 > mu_2
번 호
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
사용전(
X_1
)
75
80
72
76
70
80
78
82
90
85
사용후(
X_2
)
70
78
75
70
65
80
70
80
85
86
차 이(
D_1
)
5
2
-3
6
-5
0
8
2
5
-1
② 유의수준
alpha
를 설정한다.
alpha = 0.05
③ 검정통계량
T
값을 구한다. 소표본이므로
t-Test
를 한다.
Bar D =2.9
,
S_D = 3.48
T &= bar D over {S_D / root n} = 2.64
④ 기각역을 정한다.
t_0.05 (9) = 1.833
⑤ 검정통계량 값이 기각역에 포함되는지를 비교하여 기각여부를 결정한다.
t_0.05 (9) = 1.833 < 2.64
H_0
를 기각한다. 즉 두통약은 혈압을 저하시키는 효과를 지니고 있다고 할 수 있다.

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가설검정,   통계학,   대응비교,   가설,   검정,   통계