물리학-열전도(heat conduction)

목차

1. 열전도 열전도 (heat conduction)

2. 열전도도 열전도도 (thermal conductivity)
1) 전도의 개념과 기본 방정식
2) 3차원 열전도방정식

본문내용

의 연료요소의 경우에서와 같이 핵분열에 의하거나, 또는 고체내에서 어떤 화학반응, 핵 폐기물에서와 같이 고체내에 존재하는 방사능 물질의 분해, 물체에 침투하는 감마선의 감쇠, 또는 고체내에 흐르는 전류 등을 생각할 수 있다.
1 차원 열전도방정식을 유도하기 위하여 그림 1-1에서와 같은 좌표축 x에 수직한 면적 A를 갖고 두께가 x인 체적요소를 고려한다. 이 체적요소에 대한 에너지 균형은 다음과 같이 쓸 수 있다.
그림 1-1 일차원 열전도방정식을 유도하기 위한 부호
이 방정식의 각 항 Ⅰ, Ⅱ, Ⅲ은 다음에 설명하는 것처럼 구한다.
q를 x위치에서의 요소의 면적 A에서 양의 x방향으로의 열플럭스를 q라고 하자. 그러면 x위치에서 전도에 의해 표면 A를 통해 요소로 들어가는 열유동률은
라고 할 수 있다. 마찬가지로 위치 x＋ x에서 전도에 의해 요소로부터 나가는 열유동률은
라고 쓸 수 있다. 그러면 전도에 의해 요소가 얻는 참 열취득률은 두 값의 차이
이다. 단위체적당 에너지 발생률이 g=g(x,t)이므로 체적이 A x인 요소내에서 발생되는 에너지 발생률은
이다.
시간에 따른 온도의 변화에 다라 생기는 체적요소의 내부에너지 증가율은
로 쓸 수 있다. 고체와 액체에 대하여는 Cp = Cu 이다. 식(1-3a)에서 (1-3c)에 있는 여러 가지 양은 다음과 같이 정의된다.
식(1-3a), (1-3b)를 식(1-2)에 대입하고, 그 결과를 다음 형태로 정리할 수 있다.
x 0일 때 좌변의 첫째 항은 도함수의 정의에 의하여 [Aq]를 x로 미분한 것이 되며, 식(1-4a)를
로 쓸 수 있다. 식(1-1)로 주어진 열플럭스 q를 식(1-4b)에 대입하면
지금까지의 해석은 일반적이며, 따라서 아직 특정의 좌표계를 지정할 필요가 없었다. 그러나 열전도방정식의 유도를 완성하기 위해서는 좌표축 x축에 따라 면적 A가 어떻게 변하는가를 고려할 필요가 있다. 따라서 직교, 원통 및 구좌표계를 차례로 고려한다.
* 직교 좌표계
면적 A는 x에 따라 변하지 않으며 일정하므로 상쇄될 수 있다. 따라서 식(1-5)는
로 된다. 이것은 직교좌표계로 나타낸 1차원, 비정상 열전도방정식이다.
* 원통 좌표계
원통 좌표계에서는 x대신에 반지름방향의 변수 r을 사용하는 것이 보통이다. 따라서 식(1-5)에서 x대신에 r을 대입하고 면적 A가 r에 비례하는 것을 생각하면 식(1-5)는
가 된다. 이것이 원통좌표계에서의 1차원, 비정상 열전도방정식이다.
* 구 좌표계
구좌표계에서도 x대신에 r을 반지름방향의 변수로 사용하는 것이 보통이다. 따라서 식(1-5)에서 x대신 r을 대입하고 면적 A가 r 에 비례하는 것을 생각하면 식(1-5)는
가 된다. 이것이 구좌표계에서의 1차원, 비정상 열전도방정식이다.
* 일반 방정식
식(1-6a)∼(1-6c)로 주어진 직교, 원통 및 구좌표계의 1차원 비정상 열전도방정식을 하나의 방정식으로 간편하게 쓸 수 있다.
여기서
또 직교좌표계에서는 r 변수를 x 변수로 대치하는 것이 보통이다.
* 특수 경우
식(1-7)의 몇 가지 특수한 경우가 실제로 유용하다.
열전도계수 k가 일정하면 식(1-7)은
과 같이 간단히 된다. 여기서
매체내에 에너지원이 있는 정상상태의 열전도에 대하여 식(1-7)은
로 되고, 열전도계수가 일정할 때에는 이 결과는
로 된다.
매질내에 에너지원이 없는 정상상태의 열전도의 경우에는 식(1-7)은
로 간단히 된다. 위의 식에서 n값은 앞에서 정의한 것과 같이
이며 직교좌표계에서는 보통 r대신에 x를 사용한다.
【예제 1-1】 매체내에서 일정한 율 g0W/㎥의 에너지 발생이 있고 열전도계수 k가 일정한 경우에 1차원, 정상상태의 열전도방정식을 써라.
(a) 평판, (b)원통, (c)구
【풀이】 결과는 식(1-9b)에서 직접 구할 수 있다.
(a) n=0, r x를 대입하면
(b) n=1을 대입하면
(c) n=2룰 대입하면
* 열확산 계수
열전도계수 k가 일정한 경우 비정상 열전도방정식은 식(1-8b)에서 정의된 열확산계수(thermal diffusivity)라고 부르는 양 를 포함한다. 의 물리적 의미를 설명하는 것은 도움이 된다. 표 1-1은 대표적 재료의 열확산계수를 나타낸다. 여러 가지 다른 재료의 열확산계수의 값은 매우 큰 차이가 있다. 예를 들면 값은 구리의 경우 114 10-6㎡/s에서 분쇄된 코르크의 경우 0.15 10-6㎡/s까지 변한다.
열확산계수의 물리적 의미는 시간에 따라 온도가 변하는 동안 매체내로 열이 전달되는 것과 관련되다. 열확산계수가 크면 클수록 매체내로 열은 더 빨리 전파된다. 예를 들면 x=0에서 x 까지의 반무한 매체를 생각해 보자. 최초에 균일한 온도 T?= 100 였으나 x=0의표면 온도가 갑자기 0 로 낮추어져서 그 온도로 유지된다고 하자. 고체 내부의 온도는 시간과 위치에 따라 계속적으로 변하게 된다. 표 1-2는 다른 열확산계수를 가진 몇 가지 재료에 대하여 경계면에서 30 ㎝ 위치에서 온도가 1/2 T?= 50 로 변하는 데 필요한 시간을 보여 준다. 이 표에서 열확산 계수가 클수록 고체내로 열이 침투하는 데 필요한 시간이 짧다는 것을 분명히 알 수 있다.
2 3차원 열전도방정식
1.1절에서는 1차원, 비정상 열전도방정식이 유도되었다. 3방향으로의 열전도를 허용하고 유사한 방법을 사용하면 일반적 방정식을 유도할 수 있다. 그러한 유도는 열전도에 관한 일반 서적에
주어져 있고 여기에서는 열전도계수가 일정한 경우에 대하여 직접 직교, 원통 및 구좌표계로 제공하다.
직교좌표계(x,y,z)에서 열전도방정식은
여기서 T=T(x,y,z,t)이다.
그림 1-2에서와 같은 원통좌표계(r, ,z)에서 열전도방정식은
로 주어지며, 여기서 T=T(r, , ,t)이다.
마지막으로 그림 2-3에서와 같은 구좌표계((r, , )에서 열전도방정식은
로 주어지며, 여기서 T=T(r, , ,T)이다.
온도가 시간과 하나의 공간좌표 r(직교좌표계에서는 x)에만 관계되는 특별한 경우에는 식(1-11a)∼(1-11c)는 식(1-8)로 간단히 된다. r

키워드

열전도,   heat conduction,   물리학,   열전도도,   열전도 방정식,   전도