교량 설계에서의 4차 함수 처짐 곡선

소개글

교량 설계에서의 4차 함수 처짐 곡선에 대한 보고서 자료입니다.

목차

I. 서론
1. 동기
2. 관련된 수학 개념

II. 본론
1. 연구방법
1) 함수에 대한 수학적 계산
2) 함수에 대한 그래프 그리기
3) 처짐 방지

III. 결론
1. 요약 및 느낀점
2. 향후 탐구 계획

IV. 참고문헌

본문내용

문제를 해결하기 위해 적용되는 수학적 원리가 현재 수2 과정에서 배우는 4차함수와 극대 극소와 관련된 내용이라 더 관심을 갖게 되었다.
2. 관련된 수학 개념
3. 연구내용
탄성 보 이론(Euler-Bernoulli Beam Theory)에 따르면 교량의 처짐은 하중 분포와 구조적 특성에 따라 결정되며 크게 힘, 응력, 변형률, 변위 4가지 요소로 작용한다. 4가지 요소를 표로 나타내면 아래와 같이 나타난다.
처짐 곡선은 보의 변형을 나타내며, 변위는 곡선의 높이를 뜻한다. 변위는 하중의 크기, 위치, 보의 단면 형태 및 지지 조건에 따라 달라진다. 예를 들어, 단순지지보에서 중앙에 집중하중이 작용할 경우, 최대 처짐은 중앙에서 발생한다. 아래는 처짐 계산의 기본 식이다.
위를 활용하여 처짐곡선을 세우면 4차 함수의 꼴로 나타난다. 아래는 처짐 곡선의 식이다.
II. 본론
1. 연구 방법
우선 교량의 조건에 따라 처짐을 나타내는 4차 함수 f(x)를 임의로 설정한다.
f(x)=-0.002x^(4)+0.03x^(3)-0.1x^(2)+2x
함수에 대한 수학적 계산과 직접 그린 그래프에서 얻은 결과를 비교하여 최대 처짐 위치와 값을 확인한다.
1) 함수에 대한 수학적 계산
함수의 도함수를 계산하여 최대 처짐을 분석한다.
1차 도함수 : y′=0.008x^(3) +0.09x^(2)0.2x+2
2차 도함수 : y′′=0.024x^(2) +0.18x0.2
y`=0 이 되는 실수 x의 값을 구하면 x는 대략 11.037이 된다. 그러므로 f(x)는 x=11.037에서 극댓값을 갖게 되며 f(11.037)=20.549이므로 x=11.037에서 최댓값 20.549를 갖게 된다. 최종적으로 최대 처짐의 위치는 (11.037, 20.549)이다.
2) 함수에 대한 그래프 그리기
함수 그래프를 지오지브라 사이트를 이용하여 직접 그린다.
그래프의 극값을 얻기 위해 해당 함수를 미분하여 도함수를 구하여 도함수가 0이 되는 값을 구한다.
f`(x)=0이 되는 x=11.03715...이며 f(11.03715...)=20.54878... 인 것을 알수 있다. 그러므로 최대 처짐 위치는 A점이며 이때 좌표는 A(11.037, 20.549)이다.
3) 처짐 방지
이를 통해 직접 수학적 계산을 한것과 그래프의 값이 정확히 일치하다는 것을 알수 있었으며 과도한 처짐은 구조물의 균열, 변형, 파괴를 초래할 수 있어 이를 방지하기 위해 최대 처짐의 위치를 미리 고려해두는 것이 중요하다. 위치를 알아 내었다면 해당 위치에서 실제 처짐 값이 설계 기준(허용 처짐 한계)을 초과하지 않는지 검토해야한다. 기준 초과 시 설계를 수정하거나 보강 방안을 마련해야한다. 최대 처짐 위치를 기반으로 구조물에 추가 지지대, 보강재, 또는 설계 변경(예: 단면 형상 변경)을 적용한다. 또한 처짐이 구조물의 동적 특성(진동, 공진)에 미치는 영향을 분석해야한다. 특히 교량이나 고층 구조물에서는 진동 문제를 방지하기 위한 추가 설계를 수행해야한다.
III. 결론
1. 요약 및 느낀점
연구 전,

키워드

교량 설계,   4차 함수,   처짐 곡선