[과외]고등 수학 방정식과 부등식 04

목차

문제91~120

본문내용

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[신일, 경동]
(ⅰ) 곡선 과 접한다.
(ⅱ) 곡선 와 서로 다른 두 점에서 만난다.
① ② ③
④ ⑤
114. 모든 실수 에 대하여 직선
이 지나지 않는 영역의 넓이는?
[고려, 경복]
① ② ③
④ ⑤
115. 에 대한 이차방정식 이 두 실근, 를 가질 때, 의 최소값을 구하면?[오금, 강동]
① ② ③
④ ⑤
116. 에 대한 이차방정식 이 하나의 양의 근을 가지기 위한 실수 의 값의 범위를 구하면?[세종, 수서]
(단, 중근은 하나의 근으로 본다.)
①②
③④
⑤
117. 는 서로 소인 자연수이고, 에 대한 이차방정식
의 한 근이 , 의 한 근이 일 때, 의 값을 구하면?[단대부, 가락]
① ② ③
④ ⑤
118. 에 대한 이차방정식
이 공통근을 가지도록 의 값을 정할 때, 가능한 공통근의 개수를 구하면?[선일여, 서울여]
① ② ③
④ ⑤ 무수히 많다.
119. 방정식 에 대하여,
는 방정식 의 세 근이라 한다.(단,
는 상수)[영동여, 정신여]
이 때, 의 값은?
① ② ③ ④ ⑤
120. 방정식 은 서로 다른 세 개의 근을 갖는다.
이들 세 근 중 임의의 서로 다른 두 근의 곱은 반드시 방정식
의 근이 된다고 하면, 의 값은?
(단, 는 상수)
① ② ③ ④ ⑤
91. 근과 계수와의 관계에서
(i) ,
(ii)
(iii)
∴
∴ ③
92.
을 하면 ,
(ⅰ) 일 때, 근이 무수히 많다.
(ⅱ)일 때, 근이 없다.
(ⅲ)일 때, 한 쌍의 근을 갖는다.
따라서 (ⅲ)에서 의 값들의 합은 ④
93. 직각삼각형의 직각을 낀 두 변의 길이를 라 하고, 빗변의 길이를 라 하면
㉠, ㉡에서 이므로
이것을 정리하면 ∴ (cm) ③
94.
에 대하여 정리하면
이것이 에 대한 항등식이어야 하므로
①, ②를 연립하여 풀면 ∴
95. 주어진 방정식을 에 대하여 정리하면
이것은 에 대한 실수계수 이차방정식이고, 실근을 가지므로
그런데 는 실수이므로 ∴
이 때, ①은 ∴
따라서
96.

97. 가 근이므로,
∴
가 실수이므로, 도 실수
∴ ∴ ⑤
98. 에 대하여 정리하면,
는 유리수이므로,
∴
그런데 이므로 ∴
99. 이 근이므로,
이 식이 의 값에 관계없이 성립하므로, 에서
∴ ⑤
100. 가 근이므로
에 대하여 정리하면,
∴ ∴
∴ 양변에 를 곱하면,
즉,
∴
101. 이면,
일 때, ∴ (부적당)
일 때, ∴
일 때, , 즉,
∴
따라서, 구하는 해는
∴ ①
102. 라 하면
㉡, ㉢에서 을 소거하면
이 식을 변형하면
이므로
㉠을 만족하는 경우는
㉢에서 ∴ ③
103. 주어진 식은 에 관하여 정리하면
는 정수이므로 적당한 자연수 에 대하여
판별식: 의 꼴이어여 한다. ∴ ,
이 정수인 것은 두 번째와 세 번째이다.
∴
ⅰ) 일 때, ∴
ⅱ) 일 때, ∴
∴
따라서, 개다. ④
104. 에서
∴
가 정수이므로 의 배수이다.
즉, 라 할 때,
∴
일 때 의 값은 각각 이므로
일 때 는 최소가 된다.
∴ ∴ ③
105. 두 방정식의 공통근을 라 하면,
①에서 이므로
②에서 이것을 ③에 대입하면,
∴
106. 공통근을 라 하면,
①, ②에서 이차항을 소거하기 위하여 하면,
∴
(ⅰ) 일 때, 두 방정식은 모두
이 되어 공통근이 허근이므로 은 부적당하다.
(ⅱ) 일 때, 두 방정식은 모두
∴
이므로 실근을 갖는다.
따라서, 은 적당하다.
(ⅲ) 일 때, ①에서 이고 에 대하여 허근이므로 부적당하다. ∴
107. (ⅰ) 두 근이 모두 양일 때 이므로
∴
(항상 성립)
①, ②에서
(ⅱ) 한 근은 양, 한 근은 일 때 이므로
, ∴
(ⅲ) 한 근은 양, 한 근은 음일 때 이므로
따라서, ①', ②', ③'을 합한 범위는
108. 한 근만이 양인 경우는 양, 음 또는 양, 의 두 가지 경우이다.
(ⅰ) 양, 음인 경우 ∴
(ⅱ) 양, 인 경우
(ⅰ), (ⅱ)를 합한 범위는
109. 공통근을 라 하면,
하면 ∴
일 때 ①에 대입하면, ∴
일 때 ①에 대입하면,
∴
일 때 ②에 대입하면,
∴
③, ④에서 공통근이 아닌 근은
∴ , 공통근이 아닌 근 :
110. 라 하면 주어진 방정식은
①이 서로 다른 두 양의 근을 가질 조건을 구한다.
①의 두 근을 , 판별식을 라 하면
,
∴ 는 모든 실수
∴
∴
∴ ②, ③, ④의 공통범위는 이다.
111. 가 근이므로 도 근이다. 이때 한 실근을 라고 하면 근과 계수와의 관계에서
또, 방정식 과의 공통근은 이므로
①에서 에 대입하면
∴
②에서
③에서
∴
112. 에 관한 이차식에서 가 실수이므로
∴ ①
113.
(ⅰ) ㉠, ㉡에서 , 이므로
∴
(ⅱ) ㉠, ㉢에서 , 이므로
∴
(ⅰ), (ⅱ)에서 ④
114. ,
(ⅰ) 이면 일 때 실수 가 존재하지 않는다.
(ⅱ) 이면 일 때 실수 가 존재하지 않는다.
(ⅰ), (ⅱ)에서 인 영역과 점 을 지나지 않으므로 ④
115. 가 실수이므로
∴
한편, 이므로
따라서, 의 범위에서 최소값 을 가진다. ④
116. 의 두 실근을 라 하면
(ⅰ) 한 근이 양이고, 다른 한 근이 음일 때,
(ⅱ) 한 근이 양이고, 다른 한 근이 일 때,
∴
(ⅲ) 에서 이면 (중근)이므로 한 개의 양의 근을 가진다.
(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 ③
117. 이므로
이므로
에서 ∴
가 서로 소이므로
㉠에 대입하면 ∴ ④
118. 공통근을 라 하면
,
∴ ∴
(ⅰ) 일 때, 두 식이 모두 이 되어 공통근은
개이다.
(ⅱ) ∴
따라서, 일 때 공통근은 개, 일 때 공통근은 개로서
모두 개의 공통근이 나온다. ③
119. 가 방정식 의 근이므로, 근과 계수과의 관계에서
, ,
또한, 는 방정식 의 근이므로
㉡, ㉠'에서
㉠, ㉢, ㉡'에서
㉢, ㉢'에서
∴ ⑤
120. 방정식 의 서로 다른 세 개의 근을 각각 라 하면
그런데, 중 어느 것도 이 아니고 서로 다른 수이므로
도 각각 다른 수이다.
따라서 문제의 조건에 의하여 방정식 의 세 근은 이다.
∴
∴ ∴ ①
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