비유클리드 기하학

목차

1. 비유클리드 기하학(non-Euclidean geometry)의 전반적인 발달과정

2. 유클리드의 평행공준

3. 비유클리드 기하학의 역사적 배경

4. 쌍곡 기하학

5. 타원기하학

6. 유클리드기하학과 비유클리드 기하학의 비교

본문내용

이 만나면 오직 한점에서 만난다고 하였으므로 이라고 가정하여야 옳을 것이다. 따라서 점 와 은 동일한 점이 된다.
상반구 위에 있는 대원을 직선이라 하면 이 직선의 길이는 유한이고, 이와 같은 직선을 두 개 생각하면 이들은 반드시 한 점 에서 만나게 된다([그림 10]). 그러므로 주어진 직선 위에 있지 않는 한 점을 지나 이 직선과 만나지 않는 직선은 하나도 그을 수 없다.
그런데, 타원기하학을 단일 타원기하학, 이중 타원기하학으로 분류한다면 이들 타원기하학의 모형은 각각 반구, 전구를 가지고 설명하며 일반적으로 타원평면은 단일 Mobius의 띠와 같은 단측곡면에서 실현시킬수 있고, 이들은 구와 같은 양측 곡면에서 실현이 가능하다.
⑵ 정의와 기초정리
[그림 11] [그림 12]
정의 : 일 때 또는 를 극거리라고 한다([그림 11]).
정리 1 : 한 직선에 수직인 두 직선은 한 점에서 만난다 ([그림 12]).
정리 2 : 한 직선에 여러 직선이 수직이 될 필요충분조건은 여러 직선이 일정한 점에서 만나는 것이다.
정리 3 : 주어진 극거리를 라 할 때 이면 는 예각이고, 이면 는 직각이고, 이면 는 둔각이다([그림 12]).
정리 4 : 에서 즉, 3각형의 내각의 합은 보다 크다.
(증명)
타원평면의 모형을 반지름 1인 구라고 할 때(Riemann모형), 의 넓이, 각 의 크기이면 이므로 이다([그림 13]).
양변을 각각 더하면 이다. 그러므로 이고 따라서 이다. 즉 의 세 내각의 합은 보다 크다.
[그림 13]
정리 5 : 정 4각형은 존재할 수 없다.
정리 6 : 4각형의 내각의 합은 360°보다 크다.
정리 7 : Saccheri 4각형의 꼭지각은 둔각이다.
정리 8 : Lambert 4각형의 제 4의 각은 둔각이다.
정리 9 : 두 닮음 3각형은 합동이다.
6. 유클리드기하학과 비유클리드 기하학의 비교
특징
유클리드 기하학
비유클리드 기하학
포물기하
쌍곡기하
타원기하
시기
BC 400
1829
1851
사람
유클리드(대표)
Bolyai Lobachevski
Riemann
평행선
하나
무한히 많음
없음
모형
평면
직선
구의 내부
현 또는 직교호
구의 표면
대원
직선
끝이 없고 크기는 무한
끝이 있고 크기는 무한
끝이 없고 크기는 유한
3각형의 내각의 합
180°
180°보다 작다
180°보다 크다
정4각형
존재
없음
없음
닮음
존재
없음
없음
가우스 곡률
K=0
K<0
K>0

키워드

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