물질,열역학,열역학변수-통계열역학

목차

-미세상태, 거대상태, 그리고 엔트로피

-통계열역학에서의 평형조건

-엔트로피의 계산

-고립 제한성의 평가

-엔트로피 함수에서 제한된 최대값

-연산방식의 응용

-두 에너지 준위 모델

-결정의 Einstien 모델

-단원자 기체 모델

-또다른 통계 공식

본문내용

를 크게 도와준 거인들이다.
식 (6.3) 의 Boltzmann 의 가설로부터 엔트로피와 거대상태에 대한 미세상태의 수의 관계는 이 세 발전들 모두에 똑같이 남아있다. 평형조건을 구하는 일반적 방법을 따름으로서 또는 더 정확히 말하면, 고립계내에 최대 엔트로피를 가지도록 에너지 준위에 입자분포를 결정함으로서 각각의 경우에 대해 평형 분포를 얻을 수 있다.
Maxwell-Boltzmann 분포
(6.66)
Bose-Einstein 분포
(6.67)
Fermi-Dirac 분포
(6.68)
이 양들에 대한 정확한 정의를 원하여 참고문헌 6 을 참조하라. 이 분포함수들로부터 거시적 열역학 성질들을 계산하는 연산의 남아있는 부분은 형식으로는 이 장에서 제시된 것과 동일하다. 통계적 가정이 적합한 각 상황에서, 이 공식들을 응용하여 통계열역학의 응용범위를 크게 넓히고 있다.
6.5. 요약
어떤 계의 미세상태란 계내에서 각각의 입자의 상태 또는 조건을 상세히 표시한 것이다. 주어진 계에 존재하는 서로 다른 미세상태의 수는 매우 크다고 할 수 있다.
어떤 계의 거대상태란 각각의 입자들이 존재할 수 있는 각각의 조건의 수를 나열한 것이다. 주어진 거대상태에 대응하는 미세상태의 수는 조합분석으로 계산할 수 있다.
(6.1)
거대상태의 엔트로피가 미세상태의 수와 대수 (logarithm) 관계에 있다는 Boltzmann 가정은 다음 식을 포함한다.
(6.3)
평형조건을 찾는 일반적인 방법을 적용할 경우에 Boltzmann 분포 함수는
(6.24)
가 되고
여기서 P 는 계에 대한 분할함수로서 다음과 같이 나타낼 수 있다.
(6.25)
계의 모든 거시적인 열역학 상태량은 분할함수를 이용하여 계산될 수 있다.
여러 에너지 준위를 열역학 상태량을 예측하기 위해 전환하는 알고리즘의 적용으로 결정에 대한 기초적인 모델과 일반적인 조건에서 기체의 거동에 대한 만족할 만한 모델을 세울 수 있었다.
Maxwell-Boltzmann 통계학은 물질 거동의 여러 현상을 설명하는데 불충분하다. 또 다른 방법, 즉 Bose-Einsten 과 Fermi-Dirac 통계학은 통계열역학 알고리즘의 응용범위를 넓혀 놓았다.
문제
6.1. 현상학적 열역학과 통계열역학의 차이점에 대해 이해한 것을 기술하라.
6.2. 모든 거대상태를 나열하여, 세 에너지 준위를 점유할 수 있는 열개의 입자로 구성된 계에 대해 가능한 거대상태의 수가 6 이라는 것을 보여라.
6.3. A 와 B 두 입자로 구성되고 각각 입자가 네 에너지 준위 ε1, ε2, ε3, 그리고 ε4 중 어느것에라도 위치할 수 있는 계를 생각해보자.
(a) 이 계에는 얼마나 많은 수의 미세상태가 있을 수 있는가 ?
(b) 미세상태들을 열거하라.
(c) 미세상태 목록을 이용하여 이 계에 대한 거대상태 목록을 만들어라.
(d) 각 거대상태에 대응하는 미세상태를 확인하라.
6.4. 다음 각각의 조합에 대응하는 미세상태의 수를 계산하라.
(a) 3 개 입자와 14 개 에너지 준위를 가지는 계
(b) 15 개 입자와 4 개 에너지 준위를 가지는 계
(c) 4 개 입자와 15 개 에너지 준위를 가지는 계
(d) 100 개의 에너지 준위에 위치할 수 있는 1000 개의 입자들
6.5. 가능한 에너지 준위가 에너지축에 따라 직선적으로 일정한 간격을 유지하는 모델을 생각해 보자.
이 계에는 10 개의 입자가 있다. 두 거대상태를 생각해보자:
State I { 0, 0, 1, 2, 4, 2, 1, 0, 0, 0 }
State II { 0, 1, 1, 2, 2, 2, 1, 1, 0, 0 }
(a) 더 높은 에너지를 가지는 거대상태는 ?
(b) 더 높은 엔트로피를 가지는 거대상태는 ?
(c) 더 많이 관측될 수 있는 거대상태는 ?
6.6. 다음 수의 계승을 계산하라 : 10; 30; 60.
(a) 직접적으로.
(b) Stirling 의 근사법을 사용해서.
(c) 각 경우에 대해 근사치에 따른 lnx! 결과의 오차를 계산하라.
6.7. 500 입자, 15 에너지준위를 가지는 계가 다음 거대상태에 있다.
{ 14, 18, 28, 38, 51, 78, 67, 54, 32, 27, 23, 20, 19, 17, 15 }
이 계는 각 에너지준위의 입자수가 다음 수만큼 변화하는 과정을
거친다.
{ 0, 0, -1, -1, -2, 0, +1, +1, +2, +2, +1, 0, -1, -1, -1 }
이 과정에 대해 엔트로피의 변화를 평가하라.
6.8. 컴퓨터를 이용하여 (T/θE) 함수에 따른 Einstein 모델에 대한 분할함수를 계산하고 그려라. 0 ≤ T ≤ 1000 K 범위에서 온도에 따른 단순입방 Einstein 결정의 등적 열용량을 계산하고 그려라. Einstein 온도, θE 에 대한 다음의 각각의 값에 대해 계산을 반복하라 :
100 K; 200 K; 300 K; 500 K.
6.9. Einstein 모델을 이용하여 결정이 1 기압에서, 90 K 에서 210 K 로 가역적으로 가열될때 결정의 내부에너지 변화를 계산하라. θE 는 250 K 로 가정하라.
6.10. 1 몰의 단원자 이상기체가 초기조건 273 K, 1 기압에서 최종조건 500 K, 3.5 기압으로 압축되었을때 엔트로피 변화를 계산하라.
(a) 비슷한 현상학적 열역학을 이용하여 계산하라.
(b) 통계열역학의 결과를 이용하여 계산을 반복하라. (힌트: 먼저 초기와 최종부피를 계산하라.)
6.1. 보통의 온도와 압력에서 암모니아 (NH3) 의 열용량은 37 J/mole 이다. 에너지 등분원리를 적용하여 암모니아 분자내 원자들의 공간 재배열을 추측하라.
REFERENCE
1. Boas, M. L. : Mathematical Methods in the Physical Sciences, John Wiley & Sons, New York, pp. 699-706, 1983.
2. Lee, J. F., F. W. Sears, and P. L. Turcotte : Statistical Thermodynamics, Addison Wesley Pub. Co. Inc., Reading, Mass., pp. 148-165, 1963.

키워드

단원자 기체 모델,   두 에너지 준위 모델,   연산방식의 응용,   고립 제한성의 평가,   통계열역학에서의 평형조건