[확률, 통계 ,기초 통계 이론, 확률과 통계,공학] [확률과 통계] 확률과 통계에 관한 요약

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본문내용

의하면 큰 n에 대해서 의 분포가 근사적으로 정규 분포가 된다.
만약 분포가 정규 분포라면, 은 자유도가 n-1인 카이제곱 분포
분포를 갖는다. , 큰n에 대해서 의 분포는 근사적으로 정규 분포이다.
표본 분포의 중요성은 모집단/ 분포 모수에 관한 추정과 추론의 토대를 재공하는 것이다.
C.4 점추정
▷ 모집단/분포의 특성을 나타내는 와 같은 값을 모수(parameter)라고 한다, 만약 모집단 / 분포에 관한 모든 것을 알지 못하면 모수값을 알 수 없다. 대신에 표본 통계량으로 모수를 추정하면 된다. 단지 단일값(구간보다는)으로 모수를 추정하기 때문에 이것을 점 추정(point estimation)이라한다. 점 측정값은 큰 의미를 가지는 것은 아니다.
점추정에서 만약 E(점추정량) = 모수라면 모집단 / 분포 모수의 불편(unbiased)추정량이라고 한다. 또한 더 작은 분산 추정량을 효율적(efficiend)이라고 말한다. 효율성과 관계 있는 것은 추정량의 일치성(consistency)개념이다. 여기에는 몇 가지 다른 종류의 일치성이 있는데, 기본적인 개념은 표본 크기 n이 커질수록 그 추정량은 어떤 면에서 더 ‘좋아진다’는 것이다.
C.5 신뢰구간
▷ 신뢰 구간 : 표본에 의해 결정된 끝점으로 구간을 제시하는 것이다.
신뢰 수준이라 부르는 미리 정의된 확률로 목표 모수를 포함하여, 신뢰수준 (1-a), 신뢰구간 100(1-a)%으로 쓰인다.
- 모집단/분포 기대값 에 대한 신뢰구간
- 는 자유도가 n-1인 t분포에서 확률 1-a/2보다 작은 점을 말한다.
(이 점을 이 분포의 오른쪽 신뢰 수준이 1-a/2인상 임계점(critical point)라 부른다.)
- 모집단/분포 분산 에 대한 신뢰 구간
- 은 자유도가 n-1인 카이제곱분포에서의 상위 1-a/2임계점
- 모집단/분포 표준편차 에 대한 신뢰구간
-두 개의 모집단/분포 모평균의 차 에 대한 신뢰 구간 : 0을 포함하면 두 모평균 사이에 통계적으로 의미 있는(유의수준) 차이가 있다. 0을 포함하지 않으면 두 모평균 사이의 차이에 통계적 유의성이 있다.
-두 모집단/분포의 분산비율 의 신뢰 구간
-구간이 1을 포함하고 있지 않으면, 두 분산 사이에 통계적으로 의미 있는 차이가 있다.
두 개의 모집단/분포의 표준편차 비율 에 대한 신뢰구간 : 1을 포함하지 않으면 표준편차들이 다르다고 판별한다.
- 모집단/분포 비율p에 대한 신뢰 구간
-두 모비율의 차 에 대한 신뢰 구간 :
두 집단의 표본 크기는 앞에서 설명했듯이 커야한다.
C.6 가설 검정
▷ 점 또는 구간으로 모집단/분포 모수를 추정하는 것에 더하여. 모집단/분포에 대해서 어떤 주장을 ‘검정(test)’ 하기 위해서 이 데이터를 사용할 수 있다. 이와 같은 질문과 절차를 \'가설검정(hypothesis test)\'이라고 부른단.
검정의 대상으로 삼는 가설을 귀무가설(null hypothesis) H0라고 한다. 이것은 종종 역사적인 상황 또는 누군가에 의해 주장된 것을 말한다. 귀무 가설에 대립되는 반대 가설을 대립가설( alternate hypothesis)H1이라고 한다. 가설 검정의 의도는 H0 또는 H1을 선택하기 위해 이 가설의 진위를 표본의 정보를 토대로 판단하기 위한 것이다.
▷ 일종 오류(type I error) : 귀무 가설이 옳은 데도 불구하고 귀무 가설을 기각하는 것
이종 오류(type II error) : 귀무 가설이 틀린데도 불구하고 귀무 가설을 기각하지 않는 것
가설 검정은 일종 오류를 번할 확률 a를 고정하고, 이종 오류를 범할 확률 b를 최소화하는 방식을 일반적으로 채택한다.
- p값 : 검정에 p값이란 H0가 사실일 때 지금 얻은 데이터들보다 H1을 더욱 지지하는 방향을 가진 데이터를 얻을 확률이다.
- 다중 비교(multiple comparisons) : 보통의 질문은 평균이 다른 것은 정확하게 어떤 모델과 어떤 모델들인가 하는 것인데 이것을 분산 분석이다.
C.7 연습문제
C-1. X가 이산 확률 변수이고 그 확률 질량 함수가 p(1)=0.1, p(2)=0.3, p(3)=0.3, p(4)=0.2, p(5)=0.1 이라고 하자.
(a)모든 가능한 x에 대하여 p(x)를 그려보라.
0.4
0.3
0.2
0.1
1 2 3 4 5
(b)누적 분포 함수 F(x)를 구체적으로 구하고 그려보라.
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
1 2 3 4 5
(c)를 구하라.
-> p(2) + p(3) + p(4) = 0.3 + 0.3 + 0.2 = 0.8
(d) 를 구하라.
-> p(2) + p(3) + p(4) = 0.3 + 0.3 + 0.2 = 0.8
(e) 기대값 E(X)를 구하라.
->
E(X) = (1*0.1) + (2*0.2) + (3*0.3) + (4*0.2) + (5*0.1) = 2.9
(f) 분산 Var(X)를 구하라.
->
Var(X) = =1.29
(g) X의 표준편차를 구하라
= =
C-2 X가 10과 20사이의 (연속형) 일양분포확률변수라고 하자.
(a) E(X)를 구하라.
a=10 b=20
E(X) = =
(b) Var(X)를 구하라.
= = 8.33
(c) P(X<12)를 구하라.
P(10=x1 (d) P(X>12)를 구하라.
P(12 (e) P(X<8 또는 X>22)를 구하라.
P(X<8)=0, P(X>22)=0
C-3. X가 평균이 5인 지수 확률 변수라고 하자.(X의 누적 분포 함수는 인 경우 이고, x<0인 경우 F(x)=0이다, 부록 D 참조)
,
(a) P(X>5)를 구하라.
P(X>5) = = 1-0.55 = 0.45
(b) P(1.4X4.2)를 구하라.
P(1.4X4.2) = P(X4.2) - P(X1.4) = -
(c) P(1.4 P(1.4X4.2) = P(X4.2) - P(X1.4) = -
C-4. 표본 평균, 표본 분산을 구하고 또한 모집단 기댓값에 대한 95% 신뢰구간을 구하라.
표본평균===6.38
표본분산=
= = 2.16
95% 신뢰구간 = = =

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