대학수학 연습문제 풀이

소개글

대학수학 연습문제 풀이에 대한 보고서 자료입니다.

목차

<제 1 장 기본개념>

<제 2 장 미분법>

<제 3 장 적분법>

<제 4 장 편도함수>

<제 5 장 중적분법>

<제 6 장 무한급수>

<제 7 장 벡터와 벡터함수>

<제 8 장 행렬식>

<제 9 장 행렬>

<제 10 장 벡터공간>

<제 11 장 미분방정식>

본문내용

1) (2)
(3) (4)
(풀이) (1)
(2) ① 축을 따라 원점에 접근할 때
② 축을 따라 원점에 접근할 때
따라서 는 존재하지 않는다.
(3) 라 하면
이며, 일 때 이고
이므로
는 존재하지 않는다.
(4)
2. 다음 함수의 연속성을 조사하여라.
(1)
(2)
(3)
(풀이) (1) 는 , 즉 인 모든 에 대해서 연속이며 다음에 에서 함수값은 0 이고는 존재 하지않는다.
왜냐하면 라 두면
이고 이므로 이다. 따라서 극한값은 에 따라 변하여
존재하지 않는다. 그러므로 는 에서 불연속이다.
(2)는 인 모든 에 대해서 연속이다. 다음으로 에서 연속성을 조사한다. 이라 하자.
이므로 으로 취하면 을 만족하는 에 대해서
이다. 따라서 에서 는 연속이다. 그러 므로 는 모든 에서 연속이다.
(3) 임의의 에 대해서 이고
이다.이면
,
이고 이면
이다.
따라서 에 대해서
를 취하면, 를 만족하는 모든 에 대해서
이다. 그러므로 모든 점에서 는 연속이다.
3. 다음에서 의 식으로 를 표현하고 그 정의역을 구하여라.
(1) (2)
(풀이) (1)
(2)
4. 일 때, 임의의 에서 가 연속임을
증명하여라.
(증명) 라 하고 라 하자.
는 모든 에 대해서 연속이고, 는 에서 연속이 다. 따라서 정리 2에 의해서 는 모든 에서 연속이다.
<연습문제 4. 3>
1. 다음 각 함수의 편도함수를 구하고 지정된 점에서의 편미분계수를 구하여라.
(1) (2)
(3)
(풀이) (1)
(2)
(3)
2. 일 때, 임을 보여라.
(증명) 이다.
따라서
3. 의 이차편도함수를 구하여라.
(풀이)
이다.
4. 일 때 임을 보여라.
(풀이)
이므로 이다.
5. 일 때 임을 보여라.
(풀이)
이므로
이다.
6. 가 파동방정식을 만족함을 증명하여라.
(풀이)
이므로
이다.
7. 일 때 을 구하여라.
(풀이)
따라서
이다.
<연습문제 4. 4>
1. 일 때 정의 4.4의 결론을 만족하는 의 관계식을 구하여라.
(풀이)
이고
이다.
만약, 라 놓으면
이다.
2. 다음 함수의 전미분을 구하여라.
(1) (2)
(풀이) (1)
(2)
3. 일 때, 함수 의 와 를 구하여라.
(풀이) 이라 하고
라 두면
이므로
이다.
이므로
4. 밑면의 길이가 인 정사각형이고 높이가 인 직육면체가 있다. 를 측정 했을 때 오차가 2%이고 의 측정오차가 3%일 때, 이 육면체의 부피의 최대 오차율 전미분을 이용하여 구하여라.
(풀이) 이다. 이므로 를 구하자. 이다. 따라서
이다. 그러므로 최대오차는 7%이다. 실제로 를 계산하면 7.1612가 된다.
5. 점 (1, 1, 3)에서 곡면 의 접평면을 구하여라.
(풀이)
따라서 접평면의 방정식은
즉, 이다.
<연습문제 4. 5>
1. 에서 일 때 를 구하여라.
(풀이)
이고, 일 때 이다. 따라서
이다.
2. 일 때 임을 보여라. (는 급)
(풀이)
따라서
이다.
3. 일 때 를 구하여라.
(풀이)
4. 일 때 다음 식을 증명하여라.
(증명) 는 의 함수이고 는 다 같이 의 함수이므로
로 된다. 그러므로
이다.
5. 일 때, 임을 증명하여라.
(풀이)
라고 하면
이다. 따라서
이다.
6. 로 정해지는 음함수 의 를 구하여라.
(풀이) 라고 하면
이다. 따라서
이다.
7. 로 정해지는 의 음함수 의 를 구하 고 에서 그 값을 계산하여라.
(풀이) 이라 하자.
이고,
이다.
<연습문제 4. 6>
1. 일 때, (-1, 2)에서 벡터 방향으로의 의 도함수를 구하여라.
(풀이) ,
따라서
이고
2. 이고 단위벡터 와 축과 이루는 각 가 일 때,
를 구하여라.
(풀이)
이다. 따라서
3. 일 때, (0, 1)에서 를 구하여라.
(풀이)
이므로
이다.
4. 일 때, (3, 4)에서의 등위선을 그리고 이 점에서의 기울기 벡터 를 구하고 그려라.
(풀이) 그림은 다음과 같다. 사실 에서 (3, 4)점을 지나야 하므로 이다.
따라서 등위선은 이다.
또한 이므로
이다.
5. 일 때,
(1) 에서 방향으로의 점 에서 의 변화율을
구하여라.
(풀이)
이므로
이다.
의 방향의 단위벡터는
이다. 따라서 로부터 방향으로 의 변화율은
이다.
(2) 어떤 방향에서 는 최대변화율을 갖는가? 그 최대변화율은 얼마인가?
(풀이) 기울기벡터
의 방향으로 가 가장 빨리 증가한다.
최대변화율은
이다.
6. 공간 상의 점 에서의 온도가
으로 주어져 있다고 하자. 여기서 의 단위는이고 의 단위는
이다.
(1) 점 (1, 3, -2)에서 벡터 방향으로의 의 변화율을 구하여라.
(풀이)
이다. 따라서
이다.
방향으로의 단위벡터는
이므로
(2) 점 (1, 3, -2)에서 가장 빨리 온도가 증가하는 방향을 구하고 증가율의 최 대값을 구하여라.
(풀이) 기울기벡터
의 방향으로 가 가장 빨리 증가한다. 최대증가율은
7. 타원면 에 대한 점 (-2, 1, -3)에서의 접평면과 법선의 방정 식을 구하여라.
(풀이) 타원면은 으로 하는 함수 의 등위곡면 이다.
이다. 따라서 점 (-2, 1, -3)에서의 접평면은
즉, 이다. 법선의 방정식은
이다.
<연습문제 4. 7>
1. 다음 함수를 Maclaurin 급수로 전개하여라.
(1) (2)
(풀이) (1)
따라서
그러므로
(2)
에서는
그러므로
2. 을 의 다항식으로 나타내어라.
(풀이)
따라서
따라서
따라서
4차 이상의 편도함수는 모두 0이다. 그러므로
3. 의 (2, 1)에 관한 전개식을 구하여라.
(풀이)
따라서
따라서
따라서
그러므로
4. Tayor 전개식을 이용하여 다음 식을 증명하여라.
일 때
(증명)
에서 이다. 따라서
,
3차 이상의 편도함수는 모두 0 이다. 그러므로
이다.
<연습문제 4. 8>
1. 에서 임계점을 구하여라.
(풀이)에서 이다.
따라서 에서 이며 이에 대응 하는 의 값은
그러므로 임계점은 이다.
2. 다음 함수의 극값을 조사하여라.
(1) (2)
(3) (4)
(풀이) (1) 에서
가 임계점이다.
따라서 는 극소값이다.
(2) 에서
즉, 가 임계점이다.
한편 이므로
(ⅰ) ,
이므로

키워드

대학수학,   연습문제,   대수,   대학수학1,   대학수학Ⅰ,   연습문제풀이,   대수풀이,   대수 풀이