Clapeyron 식, 르장드르 변환, Maxwell 관계식 등 열역학 관계식 정리

목차

Clapeyron 식

에너지 표현
- 르장드르 변환

Maxwell 관계식

열역학 관계식

엔탈피, 내부 에너지, 엔트로피에 대한 열역학 관계식

체적 팽창률, 등온 압축률, 단열 압축률

예제 풀이

출처

본문내용

수 있기 때문에 각각 S와 V에 대한 편미분방정식 형식으로 표현할 수 있다.
(2)
식 (1)과 (2)를 비교하면 기본방정식으로 유도되는 매우 유용한 관계식을 얻을 수 있다. 이렇게 얻어진 방정식을 멕스웰 관계식이라고도 부른다.
다른 관점으로 식 (1)을 변형하여 엔트로피의 표현인 다음 식 (5)의 형식으로 표현할 수 있고, 이것 또한 열역학적 기본방정식으로 엔트로피 표현이다.
에너지표현에서와 같은 형식으로 식(5)를 이용하여 다른 모양의 멕스웰 방정식을 얻을 수 있다.
지금까지 과정에서 얻어진 열역학적 기본 방정식은 에너지와 엔트로피의 형식을 이용하여 평형상태를 설명하는 완벽한 방정식이다. 그러나 식(1)을 이용하여 평형상태를 설명하기 위해서는 온도(T)와 엔트로피(S)의 변화를 측정해야만 한다. 마찬가지로 식(5)를 이용하기 위해서는 에너지(U)와 부피(V)를 측정하는 과정이 필요하다. 온도와 부피는 실제 세계에서 측정하기가 쉬운 것에 반하여 엔트로피와 에너지의 변화를 측정한다는 것은 매우 어렵다. 따라서 기본 방정식의 평형특성에 대한 정보를 손실하지 않으면서 측정하기 쉬운 압력(P), 온도(T), 부피(V)등의 양으로 표현할 수 있다면 매우 실제 현상에 적용하기에 적합한 표현이 될 수 있을 것이다. 이러한 이유로 식(1)과 식(5)를 르장드르 변환법칙(Legendre transformation)을 이용하여 P, T, V 세 개의 상태량으로 표현되는 상태함수를 정의할 수 있다. 이러한 상태함수를 정의하기 전에 르장드르 변환에 대해서 간단히 알아보자.
르장드르 변환이란 임의의 함수 y=y(x)를 기울기(p)와 y 절편(ψ)으로 표현하는 과정을 의미한다. 어느 함수의 임의의 점에서 결정되는 기울기와 y 절편은 독립된 값을 가지게 되지만, x와 y의 변화에 대응하는 변수의 형태로 나타낸다면 다음처럼 표현될 수 있다.
. Maxwell 관계식
Maxwell 관계식은 열역학적 평형관계식과 완전미분원리로부터 바로 도출 될 수 있다. 여기서는 각각의 평형방정식으로부터 얻을 수 있는 관계식을 나열하였다.
평형 방정식
Maxwell 관계식
. 열역학 관계식
위 표에 나타낸 평형방정식으로부터 각각의 미분계수를 접목시키면 다음과 같은 식을 얻게 된다.
. 엔탈피, 내부 에너지, 엔트로피에 대한 열역학 관계식
르장드르 변환을 이용하여 대표적인 기본방정식들을 표현한 것이 다음과 같다. 여기서는 닫힌계에 대한 표현들이다.
내부 에너지(U)
Enthalpy(H)
Helmholtz free energy(A)
Gibbs free energy(G)
. 체적 팽창률, 등온 압축률, 단열 압축률
선형 팽창 계수
체적 팽창 계수
등온 압축률
등온 체적률
단열 압축률
단열 체적률
매질에서의 음속 (1)
매질에서의 음속 (2)
. 예제 풀이
1. 수증기표에 나타난 데이터를 이용하여 -60 에서 수증기의 승화 압력을 구하라.
검사질량 : 물
sol)
2. 좁은 온도와 압력 범위에서 한 물질에 대한 다음의 상태 방정식이 상당히 정확하다.
또는, 여기서 와 는 상수이다.
등온 과정에서 이 물질의 엔탈피 변화와 엔트로피 변화에 대한 표현식을 유도하라.
검사질량 : 기체
sol)
3. 질량이 1kg인 구리 덩어리에 가하는 압력을 가역 과정으로 0.1MPa에서 100MPa까지 증가시키면서 온도는 15도씨를 유지하였다. 이 과정 동안 구리에 가해진 일, 구리의 단위 질량당 엔트로피 변화량, 열전달량, 단위 질량당 내부 에너지 변화량을 계산하라.
이 문제의 압력과 온도 범위에서 다음의 데이터를 사용할 수 있다.
sol)
검사 질량 : 구리 덩어리
상태 : 초기 상태와 최종 상태를 알고 있음.
과정 : 가역 등온 과정
등온 압축 과정 동안 한 일은
이며, 등온 압축률은
로 정의하므로, 등온 과정에 대해 다음과 같이 표현된다.
와 는 그 값이 대체로 일정하므로 이 식을 다음과 같이 바로 적분할 수 있다.
엔트로피 변화는 Maxwell 관계식의 체적 팽창률의 정의를 이용하여 계산할 수 있다.
와 가 일정하다는 가정하에 이 식을 간단히 적분할 수 있다.
이 과정은 가역 등온 과정이므로 열전달량을 다음 식으로 구할 수 있다.
내부 에너지 변화는 제 1법칙으로부터 직접 구한다.
. 출 처
최신 열역학 입문 - 반봉찬, 임병모, 이창희 공역 (반도출판사)
내연기관 - 김동진, 권병철, 김동훈, 박완규 공저 (문운당)
자동차 기계열역학 - 이인상, 양희종, 이혜형 공저 (골든벨)
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키워드

Clapeyron,   Maxwell,   관계식,   열역학,   르장드르,   엔탈피,   엔트로피,   팽창률