레포트)Schrodinger 파동방정식의 수학적 해결방안 검토

소개글

레포트)Schrodinger 파동방정식의 수학적 해결방안 검토에 대한 보고서 자료입니다.

목차

서론 •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 2
파동방정식의 양자역학적 개념••••••••••••••••••••••••••••••••• 2
파동속••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 3
슈뢰딩거 파동방정식•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 3
슈뢰딩거 파동방정식이 나오게된 배경•••••••••••••••••••••••••• 4
본론••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 5
슈뢰딩거 파동방정식 유도••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 5
Schrödinger 방정식이 가진 성질••••••••••••••••••••••••••••••• 6
시간에 무관한 Schrödinger 파동 방정식••••••••••••••••••••••••• 8
일차원 파동방정식은 진동하는 현의 운동을 기술한다•••••••••••• 11
파동방정식의 해는 변수분리의 방법으로 얻어진다••••••••••••••• 11
결론••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 15

본문내용

)
이다.
여기서 ψ는 입자의 고유한 상태를 나타내는 고유함수(eigen function)이고, E는 Hamitonian연산자 H의 고유값이다.
식(10)의 좌변에 ψ*를 곱하면
ψ*Hψ=ψ*Eψ=Eψ*ψ …(11)
여기서 ψ*Eψ=Eψ*ψ로 쓴 이유는 E는 연산자가 아니고 계의 총에너지이므로 계마다 고유한 상수값이기 때문이다. 그러나 H은 연산자이기 때문에 연산자 우변의 함수는 연산자의 지시에 따라 변하는 피연산자(operand)이지만 연산자 좌변의 함수는 이 연산자의 지시를 받지 않으므로 ψ*Hψ=Hψ*ψ임을 명심하여야 한다.
식(11)을 진공간에 대하여 적분하면
여기서 dτ=dυ=dxdydz로서 체적소라고 부른다.
만약 식(5)에서
…(12)
로 가정한다면, Ψ*Ψdτ=│Ψ│2dτ를 확률(probability)로 취급한 셈이 되며 이값을 체적소 dτ로 나눈Ψ*Ψdτ=│Ψ│2은 확률 밀도(probability density)이고 Ψ는 확률진폭(probability amplitude)으로 생각할 수 있다.
식(12)의 규격화조건(normalization condition)은 슈뢰딩거 방정식은 확률의 개념이 부여된 셈이다. 따라서 Bohr의 모형과 슈뢰딩거의 모형은 개념적으로 현저한 차이가 생기게 되었다. 좀더 구체적으로 설명해 보자
만약 우리가 몸을 줄여 Bohr원자핵에 올라앉아서 전자를 바라보면 전자가 핵 주위의 일정한 반경 a0인 원궤도를 따라서 돌고 있는 것을 볼수 있을 것이다. 그러나 슈뢰딩거 원자핵에 앉아서 주위를 살펴보면 마치 솜사탕처럼 퍼져 있는 전자 구름(electrn cloud)를 보게 될 것이다.
№4. 일차원 파동방정식은 진동하는 현의 운동을 기술한다.
시작점0과 끝점l에 고정된 진동하는현. 시간 t와 위치x에서 진폭은 u(x,t)인 두 점간에 팽팽히 연결된 현에 대해 생각해보자. 평형에 있는 현의 수평위치에서부터의 변위를 진폭이라고 부른다. u(x,t)를 현의 진폭이라 하면 u(x,t)는 다음의 식을 만족시킨다.
(∂²u)/(∂x²) = (1/v²)(∂²u/∂t²)…(1)
이때 v는 파동이 현을 따라 이동하는 속도이다. 다시말해 고전적인 파동방정식으로 편미분 방정식인데 미지수, 이 경우 u(x,t)가 편미분으로 나타나기 때문이다. 변수 x,t는 독립변수이고 x,t에 의존하는 u(x,t)는 종속변수가 된다.
진폭u(x,t)는 다음의 물리적인 조건을 만족시켜야 한다. 현의 끝이 고정되어 있으므로 두점에서 진폭은 항상 zero가 되어야 한다. 따라서
u(0,t)=0 u(l,t)=0 (단 모든 t에 대해)…(2)
위와같이 나타낼수 있다. 이 두 조건을 특히u(x,t)가 경계에서 정해지기 때문에 경계조건이라고 한다. 일반적으로 편미분 방정식은 특정한 경계조건에 대해 풀어야 하며 이조건은 물리적인 배경에서 명확하게 나온다.
№5. 파동방정식의 해는 변수분리의 방법으로 얻어진다.
슈뢰딩거 방정식과 고전적인 파동방정식 그리고 물리학에서 다루는 많은 편미분 방정식들은 변수분리의 방법으로 쉽게 해가 구해진다. 이방법을 설명하는데 진동하는 현의 문제를 예로 들어보겠다.
변수분리방법의 주된 과정은 u(x,t)를 x만의 함수와 t만의 함수의 곱으로 분리할수 있다고 가정하는 것이다.
u(x,t) = X(x)T(t)…(3)
이 3식을 1식에 대입하면
T(t)(d²x)/dx²=(1/v²)X(x)(d²T)/(dt²)…(4)
가 얻어진다. 이식을 u(x,t)=X(x)T(t)로 나누면
1/X(x)(d²X)/(dx²)=1/v²T(t)(d²t)/(dt²)…(5)
가된다. 5식은 좌변은 x만의 함수이고 우변은 t만의 함수이다. x와 t가 독립변수이므로 식 5의 각변은 독립적으로 변한다. x와 t가 변할 때 이식의 등호가 성립되는 단하나의 방법은 각변이 같은 상수값을 갖는것이다. 이상수를 k라고 하면
1/X(x)(d²X)/(dx²)=k…(6)
1/v²T(t)(d²t)/(dt²)=k…(7)
이고 k를 분리상수라 부르는데 나중에 결정할수 있다. 6식과 7식은 다시
(d²X)/(dx²)-kX(x)=0…(8)
(d²t)/(dt²)-kv²T(t)=0…(9)
로 쓸수 있다. 8식과 9식은 이 경우 미지수 X(x), T(t)가 보통미분이기 때문에 보통의 미분방정식이다. 이두 미분방정식은 미지수와 미분이 일차식으로 나타난 선형이다. 더욱이 각 미지수의 계수들이 식 8에서는 1과 -k, 9식에서는 1과 -kv²으로 상수이다. 이러한 식들을 상수계수 선형 미분방정식이라 부르고 다음에 보듯이 쉽게 해가 구해진다.
식8과 9의 k값은 아직정해지지 않았다. 우리는 현재 k가 양수, 음수, 또는 zero인지조차도 알수 없다. 우선 k=0라고 가정해보자. 이 경우 식8과 9는 바로 적분이 되어
X(x)=a₁x+b₁…(10)
T(t)=a₂t+b₂…(11)
a와 b는 식 2의 경계조건에서 구해질수 있는 적분상수이다. X(x)와 T(t)의 경계조건은
u(0,t)=X(0)T(t)=0…(12)
u(l,t)=X(l)T(t)=0…(13)
이고 T(t)는 모든 t에 대해 zero가 아니므로
X(0)=0 X(l)=0
가 된다. 식10에서 보면 식14를 만족하는 단하나의 조건은 a₁=b₁=0이고 이것은 X(x)=0그리고 모든 x에 대해 u(x,t)=0를 의미한다. 이것을 식1의 trivial solution이라하고 별의미가 없다. 따라서 k는 zero가 될 수가 없다.
이제 k는 zero가 아닐때 식8과 9의 해를 구해보기로 하자. 두식은 모두
d²y/dx²-ky(x)=0…(15)
의 모양이고 이때 k는 양수 또는 음의 상수이다. k가 양수일때의 예를 들면
d²y/dx²-4y(x)=0…(16)
과 같은 방정식을 들수 있다. 상수를 계수로 갖는 선형 방정식인 이식을 풀기 위해 y(x)=exp(ax)로 놓고 a를 구한다. exp(ax)를 16식에 대입하면
(a²-4)y(x)=0
이고 의미있는 해를 갖기위하여는 a²-4=0여야 한다.
a=± 2
이고 따라서 해는 y(x)=e2x와 e2x가 된다. 또한 c₁,c₂가 상수일때
y(x)=c₁e2x+c₂-2x
도 해가 된다는 것을 증명할수 있다. 식 16에서 차수가 가장높은

키워드

파동방정식,   파동방정식의 양자역학,   슈뢰딩거 방정식 성질,   Schrödinger방정식,   Schrödinger,   슈뢰딩거 파동방정식 유도