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40
목차
<목차>
I 서두
II 연구방법
-실험방법
-심화연구
III 실험결과 1
-실험방법 -
1 Tangent function node
1) Using Function
2) Polynomial
3) Graph
2 Arctangent function node
1) Using Function
2) Polynomial
3) Graph
3 Equally spaced node
1) Using Function
2) Polynomial
3) Graph
4) 결론
IIII 실험결과 2
- 심화연구 –
1 Arctangent function node – III – 2와 동일
2 Exp(sine) function node
1) Using Function
2) Polynomial
3) Graph
3 Chebyshev node
1) Using Function
2) Polynomial
3) Graph
4) 결론
IIIII 결론
* Program
I 서두
II 연구방법
-실험방법
-심화연구
III 실험결과 1
-실험방법 -
1 Tangent function node
1) Using Function
2) Polynomial
3) Graph
2 Arctangent function node
1) Using Function
2) Polynomial
3) Graph
3 Equally spaced node
1) Using Function
2) Polynomial
3) Graph
4) 결론
IIII 실험결과 2
- 심화연구 –
1 Arctangent function node – III – 2와 동일
2 Exp(sine) function node
1) Using Function
2) Polynomial
3) Graph
3 Chebyshev node
1) Using Function
2) Polynomial
3) Graph
4) 결론
IIIII 결론
* Program
본문내용
2.연구과제
구간 [-5,5]에서 주어진 함수 f(x)=1/(1+x^2)를 n=5, 7, 8, 10, 15, 20일 때, Equally spaced node를 이용하여 Polynomial Interpolation 할 것이다. 또, 다른 여러가지 node를 이용하여 Polynomial Interpolation 시켜봄으로써 Error의 차이를 비교해보고자 한다. 이때, 사용하는 프로그램상에서의 Polynomial의 계산방식은 Horner’s rule을 사용하며, 이를 이용하는 까닭은 계산의 횟수를 줄여주어 더 빠른 결과를 보여주기 때문이다. 앞으로 모든 실험의 결과를 위해서 Matlab 6.1 program을 사용하였다.
II 연구방법
-실험방법 –
우리는 다음과 같은 가설은 세웠다.
가설 1 : 자료들의 배치에서 구간의 양 끝으로의 밀도를 높이고, 중앙에서의 밀도를 낮추면, Error 가 줄어들 것이다.
이것을 증명하기 위해서, 다음과 같은 세 가지 방법으로 실험을 해하고자 한다.
첫째, 구간의 중심에서 자료의 밀도를 높인다.
둘째, 구간의 외곽에서 자료의 밀도를 높인다.
셋째, 구간내에서, 동일한 밀도로 자료를 배치한다. 즉, Equally spaced node
-심화연구 –
심화연구의 결과에 따라서 다음과 같은 연구를 하였다.
(미리 알아본 결과를 밝히면 , 구간의 외곽에서 자료의 밀도를 높일 때, Error가 줄어듦을 경험할 수 있었다.) 이에 따라서, Error를 더욱 줄이는 방법을 찾기위하여, 다양한 방법의 node를 구하여, 비교하고자 한다.
첫번째 방법으로, arctan함수를 이용하여 구간을 구하였다.
두번째 방법으로, exp(sin)함수를 이용하여 구간을 구하였다.
세번째 방법으로, 잘 알려진 chebyshev node 로서 구하였다.
그리고, 각 구간의 특징을 비교하여, 최적의 구간으로서의 결론을 내리고자 하였다. 이제부터는 실험의 결과들을 통하여, 한가지 한가지 씩의 내용을 짚어보고자 한다.
III 실험결과 1
1. (실험방법1의 첫째로서,) 구간의 중심일수록, 구간의 밀도를 높인다.
1) 이것을 위하여 이용한 함수는, tangent 함수를 이용하였다.
x= 5* tan {pi/4 *[(2i-1)/(n+1)-1]}
(i=1, 2, … , n+1)
(예, n=5 일때, x={5*tan(pi/4*(-5/6)), 5*tan(pi/4*(-3/6)), 5*tan(pi/4*(-1/6)), 5*tan(pi/4*(1/6)), 5*tan(pi/4*(3/6)), 5*tan(pi/4*(5/6))}
2) Tangent function’s node 를 이용한 Polynomial by Divided Difference
n=5
구간 [-5,5]에서 주어진 함수 f(x)=1/(1+x^2)를 n=5, 7, 8, 10, 15, 20일 때, Equally spaced node를 이용하여 Polynomial Interpolation 할 것이다. 또, 다른 여러가지 node를 이용하여 Polynomial Interpolation 시켜봄으로써 Error의 차이를 비교해보고자 한다. 이때, 사용하는 프로그램상에서의 Polynomial의 계산방식은 Horner’s rule을 사용하며, 이를 이용하는 까닭은 계산의 횟수를 줄여주어 더 빠른 결과를 보여주기 때문이다. 앞으로 모든 실험의 결과를 위해서 Matlab 6.1 program을 사용하였다.
II 연구방법
-실험방법 –
우리는 다음과 같은 가설은 세웠다.
가설 1 : 자료들의 배치에서 구간의 양 끝으로의 밀도를 높이고, 중앙에서의 밀도를 낮추면, Error 가 줄어들 것이다.
이것을 증명하기 위해서, 다음과 같은 세 가지 방법으로 실험을 해하고자 한다.
첫째, 구간의 중심에서 자료의 밀도를 높인다.
둘째, 구간의 외곽에서 자료의 밀도를 높인다.
셋째, 구간내에서, 동일한 밀도로 자료를 배치한다. 즉, Equally spaced node
-심화연구 –
심화연구의 결과에 따라서 다음과 같은 연구를 하였다.
(미리 알아본 결과를 밝히면 , 구간의 외곽에서 자료의 밀도를 높일 때, Error가 줄어듦을 경험할 수 있었다.) 이에 따라서, Error를 더욱 줄이는 방법을 찾기위하여, 다양한 방법의 node를 구하여, 비교하고자 한다.
첫번째 방법으로, arctan함수를 이용하여 구간을 구하였다.
두번째 방법으로, exp(sin)함수를 이용하여 구간을 구하였다.
세번째 방법으로, 잘 알려진 chebyshev node 로서 구하였다.
그리고, 각 구간의 특징을 비교하여, 최적의 구간으로서의 결론을 내리고자 하였다. 이제부터는 실험의 결과들을 통하여, 한가지 한가지 씩의 내용을 짚어보고자 한다.
III 실험결과 1
1. (실험방법1의 첫째로서,) 구간의 중심일수록, 구간의 밀도를 높인다.
1) 이것을 위하여 이용한 함수는, tangent 함수를 이용하였다.
x= 5* tan {pi/4 *[(2i-1)/(n+1)-1]}
(i=1, 2, … , n+1)
(예, n=5 일때, x={5*tan(pi/4*(-5/6)), 5*tan(pi/4*(-3/6)), 5*tan(pi/4*(-1/6)), 5*tan(pi/4*(1/6)), 5*tan(pi/4*(3/6)), 5*tan(pi/4*(5/6))}
2) Tangent function’s node 를 이용한 Polynomial by Divided Difference
n=5