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소개글

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목차

Ⅰ. 짝수와 홀수

Ⅱ. 실수

Ⅲ. 유리수
1. 유리수
2. 유리수의 대소관계
1) 절댓값
2) 유리수의 대소 관계

Ⅳ. 자연수
1. 집합수
2. 집합수의 연산과 순서
3. 순서수
4. 순서수의 연산과 순서

Ⅴ. 정수

Ⅵ. 음수
1. 음수의 수난시대
2. 음수가 비로소 인정받다
3. 음수에 대한 한마디

Ⅶ. 소수
1. 측도 함수
2. 자연수의 확장
3. 분수의 확장
4. 비
5. 작용소(배개념)

Ⅷ. 함수
1. 함수의 근원 - 고대 바빌로니아 시대
2. 개념화된 함수의 도입 - 라이프니츠, 오일러
3. 함수 개념의 변화 - 코시, 디리클레
4. 종속에 관련된 함수의 예
1) 모든 요금은 거의 다 함수이다
2) 돈 주고 사는 것도 다 함수이다
3) 신체상의 자람도 다 함수다

참고문헌

본문내용

의식적으로 다루어지지는 않았지만 바빌로니아 수학에서 찾아볼 수 있다.
2. 개념화된 함수의 도입 - 라이프니츠, 오일러
개념화된 함수는 17세기에 이르러 역학에서 물체의 운동을 곡선으로 나타내어 연구하는 가운데 시간과 거리와 같은 변량 사이의 관계로서 수학에 도입되었다. 갈릴레이가 발견한 물체의 낙하 법칙에서 운동하는 물체의 위치 는 시간 에 대하여 이 되는 것을 말로 서술한 것이다. 즉, 이 법칙에는 ‘변수 는 변수 의 각각의 값(시간)에 대응하여 결정된다’는 함수 개념이 포함되어 있다.
뉴턴과 함께 미적분학을 창시한 라이프니츠가 『접선의 역방법, 곧 함수에 관해서』라는 논문에서 처음으로 함수(functio)라는 이름을 사용했다. 그러나 이때의 함수의 개념은 지금의 함수개념과는 판이한 것이다. 여기서 functio는 접선, 접선영, 법선, 법선영 등의 기하학적인 ‘양(量)’을 뜻하였으나 이어서 이러한 양 사이의 ‘관계’로, 그리고 「변량 x의 함수란 x에 관한 식이다」라는 생각으로 바뀌어져 갔다는 것을 라이프니츠와 요한 베르누이 사이의 왕래 서신(특히 1694, 1698년)을 통해 알 수 있다. 라이프니츠는 곡선 위를 점이 움직일 때 그 점에서 그은 곡선의 접선이나 그 점에서 나타나는 곡률을 움직이는 점의 함수라고 했다.
처음으로 함수 개념을 명확히 정의한 사람은 오일러이다. 해석기하학의 발달과 함께 여러 가지 곡선이 방정식으로 표현되면서 변량 사이의 함수 관계가 하나의 방정식으로 나타내어지게 되었다. 오일러는 그러한 상황을 일반적인 것으로 인식하고, 자신의 저서『무한소 해석 입문』에서 ‘정수와 변수로 조합된 해석적인 식을 그 변수의 함수라고 한다’라고 정의하였다. 그리고 해석적인 식의 예로
, ,
등을 들고 있다. 오일러는 변량 사이의 관계를 나타내는 해석적인 표현, 곧 식을 함수라고 정의한 것이다. 오일러가 임의의 함수는 직선 또는 곡선을 나타내고, 역으로 임의의 곡선은 함수에 의해 나타내어진다고 한 것은 수학의 중심이 기하학으로부터 기호적 대수로 옮아가는 것을 나타내고 있다는 점에서 주목을 끈다.
3. 함수 개념의 변화 - 코시, 디리클레
18세기 후반에 진동하는 끈에 대한 편미분방정식의 해에 대한 논의에서 하나의 해석적인 식으로 나타내어지지 않는 함수가 등장하였고, 푸리에가 임의의 함수는 삼각함수로 전개 가능하다는 주장을 제기하면서 ‘함수는 하나의 해석적인 표현이 가능한 것이라는 전통적인 관념’에 혁명적인 변화가 일어났다.
이로부터 코시는 하나의 특별한 형태의 곡선으로 나타내어지거나 그렇지 않거나, 규칙성이 있어 하나의 해석적인 표현이 가능하거나 그렇지 않거나, 일반적으로 어떤 독립변량의 값에 따라 그 값이 정해지는 종속변량은 모두 함수라는 생각에 이르게 되었다. 코시는 자신의 저서 『해석학 강의』에서 더욱 발전된 정의를 제시했다. 코시는 함수에 대하여 「몇 개의 변수 사이에 어떤 관계가 있고, 그 변수 가운데 한 쪽의 값이 주어져서 다른 쪽의 값을 정할 수 있을 때, 일반적으로 후자는 전자로써 표현된다고 생각하기로 한다. 이 때 전자를 독립변수라고 하고 후자를 이 변수의 함수라고 한다」라고 하였다. 변수 사이의 대응관계를 식으로 나타낼 수 없어도 괜찮다는 점이 오일러보다도 진보된 점이다. 이 정의는 함수 x 값에 대하여 y 값을 정하는 일종의 규칙으로서 파악하는 계기를 열었으며, 그 결과 종래 암암리에 받아들여졌던 기하학적 이미지나 구체적인 식에 의한 표현 등은 함수 개념과는 본질적인 연관이 없는 것으로 간주하게 되었다.
이런 함수 개념의 발달을 바탕으로 19세기 초 디리클레에 의해, 주어진 구간의 각 점에 임의의 값이 대응되는 대응 관계를 함수라고 정의하는 일반적인 함수 개념이 제기되었다. 디리클레는 다음과 같은, 해석적 표현으로 주어지지도 않고 자유롭게 그려진 곡선도 아닌 임의의 대응으로 함수 개념을 설명하였다.
그는 코시의 함수 정의를 엄격히 지켜, x와 y의 대응만 있으면, 수식 등의 법칙은 없어도 된다는 점함수(點函數)-즉, 함수를 점 대 점의 대응으로 보는-의 개념을 확립하였다.
그 뒤 칸토르의 집합론이 나타나게 되고 베르, 보렐, 르벡 등에 의해 적분론이 전개됨에 따라 함수 개념에 대한 반성이 일어났다.
20세기에 들어오면서 디리클레의 정의가 강화되어, 함수는 정의역, 공변역의 구조와도 관계가 있음을 밝혀내었는데 이는 거리공간론이나 위상수학의 발전에 따른 것이다.
4. 종속에 관련된 함수의 예
1) 모든 요금은 거의 다 함수이다
즉 어떤 x가 주어졌을 때 그것에 대응하는 값이 하나 존재하면 그건 다 함수라고 할 수 있다. 그러니까 각종 요금 전기, 전화 ,가스, 통신요금 등, 우리가 사용한량을 라 하면 그것에 대한 가격 는 반드시 존재한다. 가령 전기 5 kw사용했을 때 요금 얼마, 전화 얼마 사용할 때 전화료 얼마, 물론 얼마까지는 기본료이고 얼마 이상부터 함수식을 적용한다.
2) 돈 주고 사는 것도 다 함수이다
아이스크림 한개 200원, 두개 400원, 개수 에 대해 가격 는 항상 한개 존재 한다. 물론 같은 가격에 대응하는 것도 함수이다. 예를 들어 5개까지 천원이면 한개도 천원, 두개도 천원, 세 개도 천원 네 개도 천원 이것들은 모두 함수다. 노트 사는 개수 에 대한 가격 , 연필 사는 개수 에 대한 가격 . 모든 수퍼나 문구나 등등에서 사는 것은 다 함수다.
3) 신체상의 자람도 다 함수다
나이에 따른 키나 몸무게 ,가슴둘레 등, 예를 들어 한살 때 몇 cm, 두 살 때 몇 cm, 나이 x에 대응하는 cm인 y는 반드시 하나 존재한다. 나이가 바뀌어도 한곳에 대응해도 역시 함수가 된다.
참고문헌
김용태 외 / 소수개념 지도에 관한 연구, 수학교육연구, 제11권 제1호, 2001
유현주 / 유리수 개념의 교수현상학적 분석과 학습-지도 방향에 관한 연구, 서울대학교 대학원 교육학 박사학위 논문, 1995
육인선 / 교실 밖의 수학-함수, 동아출판사, 1996
이태규 / 이야기 수학사, 자연출판사
앵글린 / 생각하며 읽는 수학의 철학과 역사, 경문사, 2003
크리스티 매간지니, 박영호 역 / 마법의 수학나라, 맑은소리, 2000

키워드

짝수,   홀수,   실수,   유리수,   자연수