미적분학 8-1

목차

01~19

본문내용

고 이것의 길이는 4이다.
두변을 갖는 다각형은 점(0,0), (2,f(2))=와 (4,0)을 잇고 이것의 길이는 이다.
마찬가지로 4변을 갖는 다각형은 점(0,0), , , (3,3), (4,0)을 잇는다. 그리고 이것의 길이는
이다.
c) 호의 길이식과 으로
곡선의 길이
d) CAS에 의한 곡선의 길이는 이다.
실제 값은 (b)에서 구한 어떠한 추정값보다 크다. 곡선위의 두 점 사이의 직선의 길이는 두 점 사이의 호의 길이보다 항상 작으므로 이것은 항상 참이다.
문제 8-1-14> 곡선 상의 두 점 (0, 0)과 을 잇는 호의 정확한 길이를 CAS나 적분표를 사용하여 구하여라.
풀이>이므로
문제 8-1-15> 로 주어지는 곡선의 그래프를 그리고, 대칭성을 이용하여 이 곡선의 길이를 구하여라.
풀이>
이므로
문제 8-1-16> 시점을 로 갖는 곡선 에 대하여 호의 길이함수를 구하여라.
풀이>
문제 8-1-17> 고도 180m에서 15m/s의 속도로 날고 이TSms 매가 먹이를 실수로 떨어뜨렸는데 그 떨어지는 먹이가 땅에 닿을 때까지 다음과 같은 방정식으로 포물선 궤도를 그리고 있다.
(y는 땅에서부터 높이이고 x는 미터 단위로 측정되는 수평거리이다. 먹이가 처음 떨어뜨려진 순간부터 닿을때까지 먹이가 이동한 거리를 계산하여라.)
풀이>먹이가 땅에 닿은 순간은 이므로
이고 (x는 양수이므로)이므로 먹이가 이동한 거리는
[]
문제 8-1-18> 금속을 주름지게 하여 지붕을 이는 재료를 만드는 자가 그림에서 보여지는 것처럼 평탄한 금속판을 처리함으로써 폭이 28in이고 두께가 2in인 네모꼴의 판을 생산하기를 원한다. 지붕 이는 재료의 측면은 sine물결 모양을 취하고 있다. 그 sine곡선의 방정식이 임을 증명하고 폭이 28in인 판을 만드는데 필요한 평탄한 금속판의 폭 의 값을 구하여라. (계산기나 CAS로 정적분의 값을 계산할 수 있다면 그렇게 하고, 그렇게 할 수 없다면 심손의 공식을 사용하여라.)
풀이>sine물결 모양은 28in에서 두 주기를 반복하므로 진폭이 1이고 주기가 14이므로 이 방정식은 이다.
판넬을 만들기 위한 폭이 인 평탄한 금속판은 x=0에서 x=28까지의 sine곡선의 호의 길이이다. 호의 길이 공식과 를 사용하여 를 계산하면
이다.
이 적분은 계산하기 어려우므로 CAS를 이용하면 인치가 된다.
문제 8-1-19> 곡선 ,의 길이를 구하여라.
풀이> [FTC1에 의해서]

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