미적분학 7-8

목차

01~39

본문내용

발산
문제 10>
풀이>
[ u=s로 부분 적분]
=[로피탈 정리]
수렴
문제 11>
풀이>[]
발산
문제 12>
풀이>
[ 피적분함수가 우함수이므로]
[ ]
[]
따라서
수렴
문제 13>
풀이>부분적분법으로
수렴
( 로피탈 정리)
문제 14>
풀이>[0, 3]의 왼쪽 끝점에서 무한불연속
수렴
문제 15>
풀이>[-1, 0]의 오른쪽 끝점에서 무한 불연속
발산
문제 16>
풀이>
발산
문제 17>
풀이>x=1에서 무한불연속
수렴
문제 18>
풀이>
발산
문제 19>
풀이>x=0에서 무한 불연속
따라서 는 발산
로 역시 발산이다.
문제 20>
풀이>
따라서 수렴
문제 7-8-21~23> 아래 영역을 그리고, 넓이를 구하여라. (유한값인 경우)
문제 21>
풀이>넓이 =
문제 22>
풀이>넓이 =
문제 23>
풀이>넓이=
문제 7-8-24> a) 만약 이면 t=2, 5, 10, 100, 1000, 10000에 대한 의 근사값의 표를 만들기 위해 계산기를 사용하여라. 가 수렴하는 것처럼 보이는가?
b) 가 수렴하는 것을 보이기 위하여 을 가지고 비교정리를 이용하여라.
c) (b)에서 그래프 f와 g를 일 때 같은 화면에 그려 보아라. 왜 가 수렴하는지 직관적으로 설명하기 위하여 그 그래프를 사용하여라.
풀이>a)
t
2
5
10
100
1000
10000
0.447453
0.577101
0.612306
0.668479
0.672957
0.673407
수렴하는 것 처럼 보인다.
b)
가 수렴하므로 도 비교정리에 의해서 수렴한다.
c) 가 유한하고 구간 [1, t]의 모든 구간에서 g(x)아래의 면적은 f(x)아래의 면적보다 작으므로 도 유한해야만 하고 따라서 수렴한다.
문제 7-8 25~27> 비교 정리를 이용하여 각 적분이 수렴하는지 발산하는지를 판정하여라.
문제 25>
풀이>에서 이다.
는 식 2에서 p=2>1 이므로 수렴한다. 따라서 도 비교정리에 의해서 수렴한다.
문제 26>
풀이>에서
따라서 는 수렴하므로 도 수렴한다.
문제 27>
풀이>구간 에서 이므로 이다.
에서 이면 이므로
는 발산한다. 그러므로 도 발산한다.
문제 7-8-28> 적분 는 구가지 이유에서 이상적분이다. 즉, 구간 가 무한 구간이고 피적분함수가 0 근방에 무한이다. 이 적분을 아래와 같이 형태 1과 형태 2의 이상적분의 합으로 표시하고 그 값을 구하여라.
풀이>
[ ]
이므로
문제 7-8-29~30> 주어진 적분이 수렴하기 위한 p의 값을 구하고 p의 각 값에 대한 적분을 구하여라.
문제 29>
풀이>만약 p=1이면 로 발산
만약 이면 (p<0이면 이상적분이 아니다.)
만약 p>1 이면 p-1> 0 이므로 일 때 으로 발산
만약 p<1 이면 p-1< 0이므로 일 때
이다.
따라서 p<1인 경우에만 수렴하고 그 값은 이다.
문제 30>
풀이>먼저 p=-1이라고 하면
따라서 발산한다.
이제 이라고 하면 부분 적분법으로
만약 p<-1이면 p+1<0이므로
만약 p>-1이면 p+1>0이므로
따라서 p>-1 이면 적분은 로 수렴한다.
나머지 경우에는 발산한다.
문제 7-8-31> a) 가 발산함을 증명하여라.
b) 임을 보여라.
위의 사실은 = 가 성립하지 않음을 보여준다.
풀이>a) 이고
이므로 I는 발산
b) 이므로
따라서
문제 7-8-32> 의 넓이가 무한이라는 사실을 예제 1로부터 알고 있다. x축의 주위로 R을 회전할 때 생기는 입체의 부피가 유한임을 보여라.
풀이>부피 =
문제 7-8-33> 질량이 M이고 반지름이 R인 별의 중력장으로부터 질량 m인 물체를 쏘아올리는 데 필요한 탈출속도 를 구하여라. 뉴턴의 중력법칙[5.4절의 연습문제 15 참조]과 초기 운동에너지 이 필요한 일을 제공한다는 사실을 이용하여라.
풀이>일 =
초기 운동에너지가 일을 제공하므로
문제 7-8-34> 전구 생산자는 약700시간 지속하여 사용가능한 전구생산을 바라지만 어떤 것들은 다른 것보다 더 빨리 끊어진다. 는 t시간 전에 끊어지는 그 회사 전구의 분류지수이다. 따라서 F(t)는 항상 0과 1 사이에 놓여있다.
a) F의 그래프는 어떤 모양일 거라고 생각되는가?
그 개형을 그려라.
b) 는 무슨 의미인가?
c) 의 값은 무엇인가? 그 까닭은 무엇인가?
풀이>a) 초기 몇 백시간에 끊어지는 전구의 비율은 작다고 기대할 수 있다. 대부분의 전구들은 700시간 근처에서 끊어진다. 그리고 작은 수의 전구들이 계속 켜진다고 기대할 수 있다.
b) 는 시간이 증가함에 따라서 끊어지는 전구의 비율이다. 이는 끊어지는 변화율로 해석되어 진다.
c) 이므로 모든 전구는 언젠가 끊어진다.
문제 7-8-35> 이 성립하려면 a는 얼마나 큰 수이어야 하는가?
풀이>
문제 7-8-36> 에서 f(t)가 연속함수이면, f의 Laplace 변환 F를 다음과 같이 정의할 수 있다. 여기서 F의 정의역은 적분이 수렴하는 모든 s의 집합으로 정의된다. 다음 함수의 Laplace 변환을 구하여라.
a) f(t)=1b) f(t)=c) f(t)=t
풀이>a)
이는 s>0인 경우에만 로 수렴한다. 따라서
이고 정의역은 { s | s>0}
b)
이는 1-s<0 즉, s>1인 경우에만 수렴한다. 따라서
이고 정의역은 { s | s>1}
c)
부분적분법으로 을 이용하면
s>0인 경우에
이므로
이고 정의역은 { s|s>0}
문제 7-8-37> 에 대하여 이고 라 가정하자. 여기서 f'은 연속이다. F(s)를 f(t)의 Laplace 변환이라 하면 의 Laplace 변환 G(s)가 아래와 같음을 보여라.
,s>a
풀이>
부분적분법으로 을 이용하면
하지만 이고
s>a에서 이므로 압축정리에 의해서
s>a에서 이므로
s>a에서 이다.
문제 7-8-38> 임을 보여라.
풀이>이므로 부분적분법으로
문제 7-8-39> 아래 적분이 수렴하는 상수 C의 값을 결정하여라.
결정된 C의 값에 대한 적분을 계산하여라.
풀이>첫 번째 적분의 경우 라고하면
직각삼각형그림에서 이므로
이제
만약 C<1이면 이고 I는 발산한다.
만약 C=1이면 L=2이고 I는 로 수렴한다.
만약 c>1이면 L=0이고 I는 로 발산한다.

키워드

미적분학,   미분적분학,   솔루션,   미적분학 솔루션