[수학과] 미분과 적분에 대하여

목차

1.미분과 적분의 발견

2.미분의 기본개념

3.미분의 응용

본문내용

(이 말 자주 하는 것 같다) 임계점 정리의 공이 컸다. 관심 있어 하는 함수가 최대나 최소를 가질 경우 최댓값이나 최솟값을 구하는 것은 기본일 텐데, 최대인 곳에서는 당연히 극대이고, 최소인 곳에서는 당연히 극소이기 때문에 임계점 정리를 쓸 수 있다. 바로 임계점 정리 덕에 미분이 함수의 최대와 최소를 구하는 강력한 무기로 부상할 수 있었던 것이다. 미분은 더는 접선을 구하는 도구로 만족하지 않는 것이다.
페르마의 최소 시간의 원리
임계점 정리의 응용은 무수히 많다. 경제 문제, 물리 문제, 수학 문제 등에서 언제 최대인지, 언제 최소인지, 언제 평형 상태에 이르는지 등의 질문만 나오면 임계점 정리가 고개를 내민다. 다 소개할 수도 없거니와, 여기서는 페르마가 광학에 어떻게 응용하여 굴절 법칙을 설명했는지 소개하는 게 흐름에도 맞는 것 같다.
A를 출발하여 굴절된 빛이 B에 도달할 때, 빛이 취하는 경로는 ‘최단 거리 경로’가 아니다. 최단 거리 경로라면 A, B를 잇는 직선 경로를 따라야 하기 때문이다. 그렇다면 빛이 취하는 경로는 어떤 경로일까? 페르마는 ‘최소 시간의 원리’를 제안하여 이 문제를 해결한다. 즉, A에서 B에 도달할 때 빛이 취하는 경로는 ‘시간이 가장 적게 드는 경로’여야 한다는 얘기다. 일단 이 원리를 받아들일 경우, 어떻게 스넬의 법칙을 유도할 수 있는지 알아보자.
오른쪽 그림에서처럼 경계면으로부터의
점 A의 높이를 a라 하고, 점 B의 깊이를
b라 하자. 또한 AB의 수평 거리를 c라 하자. 경계면에 닿기 전까지 빛의 속도를 v,
경계면을 지나친 후의 빛의 속도를 w라
하자. A로부터 수평거리 x인 곳에서 굴절이
됐다면, A에서 B까지 이르는 데 걸린 시간은
다음과 같다.
미분법을 배운 이들은 임계점 정리를 써서 다음과 같은 경우에 시간이 최소임을 쉽게 알 수 있을 것이다.
한편 위 그림을 생각해보면, sin θi 와 sin θr은 아래와 같다.
및
따라서, n=v/w라 두어 스넬의 법칙을 얻을 수 있다. 상수 n의 정체까지 덤으로 알 수 있다! 물론 페르마는 오늘날과 같은 형태의 미분을 알지는 못했으므로, 조금은 다른 방식으로 설명했다. 지면 관계상 생략하지만 페르마가 설명한 방식은 라그랑지의 ‘최소 작용의 원리’ 등으로 이어져 수리 물리학에 많은 영향을 끼쳤다. 수학에서도 아예 ‘변분법’(calculus of variation)이라는 분야가 만들어지기도 했다.
최소 시간의 원리
최소 시간의 원리가 유용한 것은 반사 법칙까지 한꺼번에 설명할 수 있기 때문이다. 최소 시간의 원리를 정확히 이해하려면 빛의 파동성을 이해해야 하고, 양자 역학을 알아야 한다고 한다. 고전 역학의 범위 내에서는 최소 작용의 원리 정도로 충분한 편인데, 물리산책에서 한번쯤 다뤄줬으면 하는 소망이 있다.
A위치의 사람이 B의 위치에 물에 빠진 사람을 구하려면 ①,②,③ 중 어느 경로로 가야 가장 빠를까? 보통 사람은 수영 속도가 뛰는 속도보다 느리므로 ②의 경로로 가야 한다.

그건 그렇고, 최소 시간의 원리에 관련하여 파인만이 재미있는 비유를 든 게 하나 있다. 원작보다 훨씬 재미없게 각색한 점 너른 양해 바란다. 여기는 해안가다. 나는 육지의 지점 A에 서 있는데, B 지점에 물에 빠져 허우적대는 미인을 발견했다. 한시바삐 구하자는 마음에 직선 거리로 곧장 뛰기 시작해야 하는 걸까? 박태환 선수라면 몰라도 대부분의 사람은 헤엄치는 속도가 달리는 속도보다는 훨씬 느릴 것이다. 따라서 곧장 B 방향으로 뛰어서는 안 된다. 구조 작업은 시간을 다투는 일이므로, 시간이 가장 적게 들도록 경로를 택해야 구조에 성공할 가능성이 높다는 애기다.

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수학과,   미분,   적분에 대하여