수학 규칙성과 함수 영역 문제

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양이 나타나게 되는지 알아보게 할 수 도 있다. 이와 같은 수 배열표에서 뛰어 세는 수들의 규칙을 찾는 다양한 활동을 통하여 자연스럽게 곱셈구구의 기초 경험을 가지게 할 수 도 있다.
(4) 위와 같은 수 배열표를 사용하여 할 수 있는 또 다른 활동에는 무엇이 있을지 쓰시오.
부분적인 수 배열표에서 빈 칸을 만들어 빈 칸에 알맞은 수를 채워 넣게 하는 활동이 있다. 이와 같은 다양한 활동을 통하여 학생들은 수 배열표에 익숙하게 되고, 수의 크기와 계열성을 익히게 된다.
아래와 같이 수 배열표의 일부분이 다양한 형태로 주어진 그림에서 빈 칸에 알맞은 수를 찾아내게 한다.
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9. Z. P. Dienes는 수학적 개념의 발달은 일련의 주기적인 패턴을 통하여 가장 잘 성취할 수 있다고 하였으며, 각 패턴은 구체적인 단계에서 기호적인 단계를 거치는 6단계의 학습활동의 계열을 포함하고 있다고 주장한다. 다음에 주어진 학습활동의 단계는 무엇인가?
<보기>
2007×12=24084임을 알고, 소수점의 위치를 알아보아라.
200.7×12=2408.4 2007×1.2=2408.4
20.07×12=240.84 2007×0.12=240.84
2.007×12=24.084 2007×0.012=24.084
0.2007×12=2.4084 2007×0.0012=2.4084
①형식화 단계 ②표현단계 ③공통성의 탐구 단계 ④기호화 단계
③번
☞ 딘즈는 수학학습을 ‘놀이’를 통한 구성적 활동이라고 보고 학습자의 수학 학습 경험의 계열화 과정에서 구체적인 수학 자료를 이용한 놀이를 중요시하였다. 그가 놀이를 통하여 제시하고 있는 수학 개념 학습 과정은 자유놀이, 게임, 공통성의 탐구, 표현, 기호화, 형식화의 6단계로 이루어진다.
딘즈(Dienes)의 수학 학습 각 단계는 1. 자유놀이 단계: 어떤 규칙성이 있는 수학적 개념을 담고 있는 구체물을 다루면서 그 개념을 익히는 단계로 수 막내나 쌓기 나무가 주로 이용된다. 2. 게임 단계: 어떤 정해진 조건이나 제한이 가해지는 것으로 놀이를 하면서 어떤 규칙성이 있다는 것을 파악하는 단계이다. 3. 공통성 탐구 단계: 공통적으로 들어 있는 특정개념의 수학적 구조를 파악하는 단계로 위의 소수점 위치에 대한 학습이 이에 해당한다고 할 수 있다. 4. 표현 단계: 공통적인 구조나 추상화된 개념을 파악하여 학생 스스로 인식할 수 있는 것을 다양하게 표현하는 단계로 그림이나 그래프 등을 표현할 수 있으며, 이를 통하여 추상적인 수학구조를 이해할 수 있는 단계이다. 5. 기호화 단계: 수학적 기호와 결부시켜서 보다 높은 추상화 단계에 이를 수 있는 단계로 (-a) × (-b) = ab와 같은 것을 예로 들 수 있다. 6. 형식화 단계: 개념의 여러 가지 성질을 체계화 시키는 것이며, 기본성질로부터 다른 성질을 이끌어 낼 수 있는 단계이다. 공리를 증명하여 정리로 만드는 과정이 형식화단계라고 할 수 있다.
학생들은 위의 활동을 통해 곱하는 수가 갖는 소수점의 위치에 따라 연산결과의 소수점 위치도 규칙적으로 변화하는 것을 알 수 있다. 한편 같은 줄에 놓인 식의 비교를 통해 연산 결과의 소수점의 위치를 결정하는 항은 연산 기호 전 후에 위치하는 것과 무관하다는 것을 알게 된다.
이러한 규칙성 즉 공통적으로 나타나는 특징을 찾는 활동은 딘즈가 제시한 6단계 중 3단계에 해당하는 공통성의 탐구 단계에 해당된다고 할 수 있다. 공통성의 탐구 단계는 게임 단계에서 감지되는 규칙성이 보다 명확해지는 단계로 놀이의 소재가 되는 여러 구체물 속에 공통적으로 들어 있는 특정 개념의 수학적인 구조를 파악한다.
10. <보기>의 문제를 해결하여 도달하고자 하는 최종 목표는 무엇인가?
<보기>
24000원을 형과 동생에게 3:2의 비로 나누어 주려고 한다.
누가 얼마나 더 많이 받는지 알아보아라.
①비 ②비율 ③비례식 ④비례배분
④번
☞ 어떤 양을 몇 개의 부분으로 똑같이 나누는 것이 아니라 제시된 조건, 즉 주어진 비에 따라 나누는 것을 비례배분이라고 한다. 이러한 비례배분을 지도할 때는 전체에 해당하는 양과 각 항에 해당하는 양을 정확히 구분하는 것이 중요하다. 위의 문제에서 형이 300원을 가질 때 동생은 200원을, 형이 3000원을 갖는다면 동생은 2000원만큼 갖게 된다. 형이 갖는 돈은 전체의 만큼이며 동생은 만큼의 돈을 갖게 되는 것이다. 즉 형이 동생보다 전체의 만큼을 더 갖는다는 것을 비례배분의 방법을 통해 확인할 수 있다.
▶ 24000=4800, 형이 동생보다 4800원을 더 갖는다.
☞ 비는 어떤 양 a가 다른 양 b의 몇 배인가 알아보는 관계 이고, 비율은 어떤 양을 기준으로 그에 대하여 비교하는 양이 그의 몇 배가 되는 가를 나타내는 수, 그리고 비례식은 a의 b에 대한 비와 c의 d에 대한 비를 등식으로 표현한 것이고, 비례배분은 어떤 양 혹은 수를 2개 이상의 부분으로 나누어서 그 각 부분의 비를 주어진 비와 같게 나누는 것이다. 위의 문제는 (형) 2400 × =1440(원) (동생) 2400×=960(원) 으로 비례배분에 해당된다.
「참고문헌」
(1) 교육인적자원부, 초등학교 교사용 지도서 수학 1 : 서울 : 대한교과서 주식회사, 2004
(2) ______________, 초등학교 교사용 지도서 수학 2 : 서울 : 대한교과서 주식회사, 2004
(3) ______________, 초등학교 교사용 지도서 수학 3 : 서울 : 대한교과서 주식회사, 2004
(4) ______________, 초등학교 교사용 지도서 수학 4 : 서울 : 대한교과서 주식회사, 2004
(5) ______________, 초등학교 교사용 지도서 수학 5 : 서울 : 대한교과서 주식회사, 2004
(6) ______________, 초등학교 교사용 지도서 수학 6 : 서울 : 대한교과서 주식회사, 2004
(7) ______________, 초등학교 수학 1-가, 나 ~ 6-가, 나 : 서울 : 대한교과서 주식회사
(8) 교육부, 초등학교 교육과정 해설(Ⅳ) - 수학, 과학, 실과 -

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