양자역학 수학공식 정리 보고서

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목차

I. Part 1

1. 푸리에 변환(Fourier transform)
2. 델타함수(Delta function)
3. 힐버트 공간(Hilbert space)
4. 라그랑제 및 해밀턴의 형식화(Lagrangian and Hamiltonian formalism)


II. Part 2

5. WKB 근사법
6. Legendre 함수와 Laguerre 함수
7. 행렬 및 행렬식
8. Bessel 함수
9. 대칭과 군(symmetry and group)

본문내용

나고 항상 부드럽게 변하는 함수와 같이 있으면 의미를 찾을 수 있다. 예를 들면 다음의 관계를 쉽게 증명할 수 있다.
(1-14)
여기서 ‘은 변수에 대한 미분을 뜻한다.
마지막으로 델타함수의 적분은 다음과 같다.
(1-15)
여기서 는 계단함수(step function)라 부른다. 계단함수를 미분하면 델타함수에 대한 한가지 관계를 더 얻을 수 있는데 델타함수는 계단함수의 미분이다.
(1-16)
3. 힐버트 공간(Hilbert space)
힐버트 공간을 도입하는 이유는 양자역학의 어떤 추상적인 개념들에 대해 기하학적인 성질을 부여하기 위해서이다.
3-차원 직각좌표계에서 벡터는 성분 인 세 수의 집합이라는 것을 상기하자. 그러면 이 공간에 있는 임의의 벡터는 세 단위 벡터 의 항으로 나타낼 수 있다. 이러한 세 단위 벡터를 기저(basis)라고 한다.
(3-1)
벡터는 벡터 공간에 걸쳐 있다고 한다.
위의 벡터 공간에서 두 벡터 의 내적(dot product)은 다음과 같이 정의된다.
(3-2)
벡터의 크기는 이다.
힐버트 공간은 벡터와 아주 유사한 형태를 가진다. 힐버트 공간은 3-차원 벡터가 아니고 함수이며, 이것은 벡터와 아주 유사하므로 종종 벡터라고 하기도 한다. 힐버트 공간 H는 다음과 같은 성질을 가진다.
1. 힐버트 공간은 선형공간이다. 임의의 함수공간은 다음 두 조건 아래에서
선형이다.
(a) 만일 가 상수이고 가 공간의 임의의 성분이라면 도 역시
공간의 성분이다.
(b) 와 가 공간에 대한 임의의 두 성분이라면 도 역시 공간
의 성분이다.
2. 힐버트 공간에 있는 임의의 두 성분에 대해 내적 가 존재한다. 구
간 에서 정의된 함수에 대해 다음과 같이 쓸 수 있다.
(3-3)
3. H의 임의의 성분은 다음과 같이 내적에 관련된 노름(norm)을 가진다.
(3-4)
4. H는 완전성(complete)을 이룬다. H에서 각 함수의 코오시 수열(Cauchy
sequence of functions)은 H의 성분이 된다. 코오시 집합 은
과이 무한대로 접근할 때 이 되는 성질을 가진다. 막연
히 말해서 힐버트 공간은 모든 그 자체의 극한점을 포함하고 있다.
힐버트 공간의 예로써, 다음과 같이 유한한 노름을 가지고 구간 에서 정의되는 함수의 집합을 들 수 있다.
H1
(3-5)
이 힐버트 공간에 대한 다른 예로써, 주로 수학자들이 인용하는 “공간”과 같은 함수공간을 들 수 있는데 이것은 의 모든 구간에서 정의되는 “제곱적분 가능한 함수”의 집합이다.
H2
(3-6)
이제 (3-3)식의 내적의 개념이 어떻게 (3-2)식과 같은 두개의 유한한 차원의 벡터 사이의 내적에 대한 정의와 유사한지를 살펴보자. 그러기 위해서 함수 를 무한히 많은 성분을 가지는 벡터로 생각하자. 이러한 성분들은 가 독립변수 에 대한 각각의 특정한 값을 나타내는 값들이다. 와 사이의 내적이 평행한 성분들의 곱의 합을 나타내듯이 와 사이의 내적도 평행한 성분끼리의 곱의 합을 나타낸다. 이 합은 와 의 곱의 적분을 나타낸다. 이 적분에서 첫번째 벡터에 공액복소수를 취하는 이유는 벡터의 길이를 실수로 만들어 주기위해서이다(여기서 길이란 벡터와 그 자신 사이의 내적의 제곱근을 말한다).
이렇게하여 힐버트 공간은 벡터 공간과 아주 유사함을 알았다. 수학에서는 이 힐버트 공간을 무한차원 벡터 공간이라고 부른다. 힐버트 공간의 성분들은 길이를 가지고 있으며 임의의 두 성분들은 내적의 형태를 가질 수 있다. 힐버트 공간의 벡터적인 성질에 대해서는 조금 뒤로 미루고, 3-차원 벡터 공간에서 임의의 두 벡터 와 가 서로 수직이라면 이 두 벡터의 내적은 0이 된다는 사실을 상기하자. 그러면 비슷한 맥락에서 다음식
(3-7)
이 성립한다면 힐버트 공간에 있는 임의의 두 벡터와 는 수직이라고 할 수 있다. 더구나 세 단위 벡터가 3-차원 공간을 모두 나타낸다면, 이와 비슷하게 힐버트 공간을 모두 나타낼 수 있는 벡터의 집합이 존재하게 된다.
예를 들면, 힐버트 공간의 성분들이 (3-5)식의 성질을 가진다면 이 공간은 함수의 집합 에 의해서 나타낼 수가 있는데 이 은 일차원 상자문제에 관련되는 해밀토니안의 고유함수이다. 이것은 힐버트 공간 상의 임의의 함수 는 의 급수로 전개할 수 있음을 나타낸다.
(3-8)
계수 은 벡터 에 를 투영(projection)시킨 것을 나타낸다. 이것을 증명하기 위해 아래의 사실을 살펴보자. basis벡터 은 직교집합을 이룬다. 즉,
(3-9)
더구나 은 단위 벡터이다. 즉, 이 벡터는 다음과 같이 단위 길이를 가진다.
(3-10)
위의 두 성질은 다음과 같이 하나의 방정식으로 나타낼 수 있다.
(3-11)
위의 부호 를 Kronecker delta라고 하며 다음과 같이 정의된다.
(3-12)
(3-11)식을 만족하는 임의의 함수의 집합을 직교규격화된 집합이라고 한다.
이 를 에 투영시킨것임을 증명하기 위해서, 먼저 (3-8)식을 디락 표기법으로 다시 써보자.
(3-13)
그리고 윗식의 각 항의 좌변에 를 곱하고 관계식 (3-11)를 이용하면
(3-14)
임을 알 수 있다.
계수 은 basis벡터 와 벡터 의 내적을 나타낸다. 가 단위 벡터를 나타내기 때문에 은 를 에 투영시킨 것을 표시한다. 여기서 (3-8)식은 를 식을 이용하여 불연속적인 Fourier 급수로 나타낸 것임을 알아야한다.
델타함수의 직교성
앞으로 계속해서 (3-5)식과 (3-6)식에서 정의된 두개의 힐버트 공간을 나타내기 위해서 H1과 H2 기호를 사용하게 될 것이다. 앞에서도 말했지만 식의 집합 은 H1을 기술하며 집합 을 H1의 basis라고 한다. 그러면 H2를 대표하는 벡터는 무엇인가? 이것에 대한 답은 다음식과 같은 운동량 연산자 의 고유함수이다.
(3-15)
이제 이 연속적인 함수의 집합이 직교집합인지 살펴보자. 이것을 증명하기 위해서 다음의 형태와 같은 내적을 취하자.
(3-16)
윗식으로부터 연산자 의 서로 다른 임의의 두 고유벡터의 내적은 0이 됨을 알 수 있다.
H2상의 임의의 함수는 고유벡터 의 항으로 전개할 수가 있다. 집합는 연속적인 집합을 이루기

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양자역학,   수학공식,   양자수학,   양자론,   양자,   현대물리