중적분의 정의 중적분의 실생활에서의 예

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중적분의 정의 중적분의 실생활에서의 예 에 대한 보고서 자료입니다.

본문내용

a ),~ alpha<= theta<= beta RIGHT }
라 하면 극좌표에서와 같은 분할에서 면적소
DELTA A=r DELTA r DELTA theta
이다. 따라서 영역
R
와 곡면
z=f(r, theta )
사이에 있는 입체의 체적은
INT INT _{ R}zrdrd theta = INT _{ alpha }^{ beta } INT _{ r_1 ( theta )}^{r_2 ( theta ) }f(r, theta )rdrd theta
로 주어진다.
8.3 삼중적분의 응용
1. 입체의 체적
xy
평면 내의 영역
R= LEFT { (x,y) vert a<=x<=b,~y_1 (x)<=y<=y_2 (x)RIGHT }
위에 수직하게 서 있는
주형입체를
z=z_1 (x,y),~z=z_2 (x,y)
인 곡면으로 잘랐을 때 생기는 입체의 체적을
V
라 하자.
V
에서 각 좌표평면에 평행하고 간격이 각각
DELTAx,~ DELTAy,~ DELTA z
인 삼평면군을 만들면 체적소는
DELTA V= DELTAx DELTAy DELTAz
이다. 이 체적소를 합하면
V
의 근사치가 되므로 삼중적분의 정의에 의하여
V= INT INT INT _{ V}dxdydz= INT _{ a}^{ b} INT _{ y_1 (x)}^{y_2 (x) } INT _{ x_1 (x,y)}^{x_2 (x,y) } dzdydx
(1)
를 얻는다.
2. 입체의 중심 및 관성능률
입체
V
의 밀도
rho
를 상수 또는
x,~y,~z
의 함수라면 (1)식에 의하여 입체
V
의 질량
M
은 다음과 같다.
M= INT INT INT _{ V}~ rho dzdydx
입체
V
의 중심의 좌표를
(bar x,
bary
,
barz )
라 하면 중심은 다음 공식으로 주어진다.
M barx = INT INT INT _{ V} ~rhox dzdydx
M bary = INT INT INT _{ V} ~rho ydzdydx
(4)
M bary = INT INT INT _{ V} ~rhoz dzdydx
입체의 밀도가 일정(균일)할 때 입체의 체적을
V
라 하면 중심을 구하는 공식은 다음과 같다.
V barx = INT INT INT _{ V} ~x dzdydx
V bary = INT INT INT _{ V} ~ ydzdydx
(5)
V bary = INT INT INT _{ V} ~z dzdydx
질량소
dM= rho dzdydx
가 점
P(x,y,z)
에 집중되었다면 한 축에 대한 입체
V
의 관성능률은
I = INT INT INT _{ V} ~ rho r^2 dzdydx
이다. 여기서
r
은
P
에서 축까지 거리이다. 따라서 각 좌표축에 관한 입체
V
의 관성능률은
I_x = INT INT INT _{ V} ~ rho (y^2 +z^2 ) dzdydx
I_y = INT INT INT _{ V} ~ rho (z^2 +x^2 ) dzdydx
(6)
I_x = INT INT INT _{ V} ~ rho (x^2 +y^2 ) dzdydx
이다.

키워드

중적분,   실생활 ,   예,   응용