미적분[Calculus, 微積分]에 대하여

소개글

미적분[Calculus, 微積分]에 대하여에 대한 보고서 자료입니다.

목차

미적분이란 무엇인가?

미분의 시작

수학의 시작과 미적분의 시작

왜 이런 궤변이 생겼을까

미적분의 관계

적분의 시작

18세기의 수학-미적분학의 발전

미적분학의 예-우주론

실제 우리가 배웠던 미분, 적분, 정적분의 내용을 간추려보면,,

수학교육과정 편성에서 미적분 단원이 교과과정에 왜 필요할까?

본문내용

미적분이란 무엇인가?
미분과 적분이 서로 역관계이므로 이 둘을 하나로 합쳐서 부르는 총칭으로 한마디로 \'미적분이란 연속적으로 변하는 현상을 연구하는 학문\'이라 해야 옳다. 그러므로 미적분을 다음과 같이 말할 수 있다.
⑴ 연속적인 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이나 부피를 계산하는 것이 \'적분\' ⑵ 연속적인 곡선의 각 점에서 접선(지구를 두고 말하면 수평선)을 긋고 그 점에서의 곡선의 상태를 연구하는 것이 \'미분\'이다.
가령 연속적인 곡선이 있다고 하자. 이 곡선의 일부분을 차례로 확대해 가면 그 곡선은 점점 직선과 같아진다. 그리고 이것은 결국 접선이 된다. 지구를 두고 말한다면 접선은 그 지점에서의 수평선이 된다. 분명히 지구는 둥글지만 지평선은 직선으로 보인다. 이와 같이 그래프의 접선은 각 점에서 그래프의 \'상승률\'을 나타낸다. 그래서 미분의 목적에는 앞에서 말한 것(접선을 긋는 것)외에 \'연속적인 곡선의 상승률\'의 계산도 있음을 알 수 있다.
창시자는 뉴턴과 라이프니츠로 되어 있다. 그러나 그와 같은 개념은 훨씬 이전부터 싹텄다고 볼 수 있다. 예를 들면, BC 3세기경 아르키메데스와 유클리드 같은 사람은 오늘날의 구분구적법(區分求積法)과 매우 흡사한 방법으로 평면의 넓이를 구하였다. 그 후에도 많은 수학자들에 의해 해석적 방법이 연구되었다. 뉴턴과 라이프니츠는 이들 방법을 더욱 더 확장시키고, 체계화하고, 일반화시켰다는 데 그 뜻이 있다 하겠다.
뉴턴은 무한급수에 관한 연구를 통해 접선문제를 한층 더 일반적인 해법(解法)으로 발전시키는 데 성공하였다. 그리고 라이프니츠도 변수 x가 무한히 적게 변화할 때 함수 f(x)가 받는 무한히 작은 변화, 즉 증분(增分)을 표시하는 과정을 미적분학의 기초적인 과제로 삼았다. 이 때 무한히 작은 증분을 라이프니츠는 함수미분이라 하고 d로 표시하였다. 라이프니츠는 역으로 무한히 작은 증분으로부터 함수를 구하는 문제를 세우고 구하는 함수를 표시하는 데 있어 ∫(인테그럴)이라는 기호를 도입하여 적분법으로 하였다. 뉴턴은 자신의 방법을 프랙션스:유율법(流率法)이라 했다. 라이프니츠는 적분으로서 정적분(定積分)을 중요시하였지만, 뉴턴은 부정적분(不定積分)을 중요시하였다.
이들 방법은 초기에는 여러 가지로 엄밀성이 없이 도입되었다. 미적분은 N.L.S.카르노에 의해서 더욱 발전되었고, B.A.L.코시에 의해 수학적 엄밀성이 이루어지게 되었다. 미적분학의 확립은 자연과학 전반에 걸쳐 크나큰 영향을 끼쳤으며, 간접적으로는 산업혁명이나 계몽주의를 촉진시킨 원천이 되었다.
미분의 시작
미분은 적분에 관한 구체적인 생각보다 늦게 생각되어졌다. 적분은 넓이 계산이라는 구체적인 문제가 있었으나 미분은 그래프의 기울기에 관한 추상적인 연구였기 때문이다. 하지만 현재 우리 주변에는 미분을 이용한 개념이 범람하고 있다. 예를 들어 경제기획원의 중대한 관심사인 물가 그래프와 물가 상승률 그래프를 생각해 보자. 물가 그래프를 미분한 것이 물가 상승률이고 물가 상승룰을 적분하면 물가 그래프가 된다. 앞에서 말했듯이 미분 적분은 반대의 관계인 것이다.
수학의 시작과 미적분의 시작
수학이 처음 시작된 것은 움직이지 않는 것을 대상으로 하면서부터다. 유클리드 기하학에서의 삼각형이나 원은 움직이지 않는 상태에 있으며 1 2 3 …과 같은 수는 변하지 않는 물건의 개수를 셈하면서 비롯됐다. 움직이는 것은 그대로 있는 것보다 잡기 어렵다. 같은 이치로 움직이는 것을 인식하는 일은 변화하지 않은 것을 인식하는 것보다 훨씬 어려운 것이다. 움직이는 것을 정확하게 인식하기 위해서는 정지에 가까운 상태, 즉 시간을 무한소의 단위에서 파악해야 한다.
BC 5세기경 고대 그리스에서 발표됐던 유명한 파라독스(궤변)가 있다.
⑴\"발이 빠른 아킬레스는 거북이를 뒤

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