[과외]고등 수학 예상문제 III-3.정 답

목차

Ⅲ. 방정식과 부등식

[정답과 해설]

문제1~52

본문내용

음 과 같다.
Ⅲ. 방정식과 부등식
[정답과 해설]
3. 부등식
A∩B={x|1 같아야 한다.
=1, =2
=1이 ㉡의 한근, =2가 ㉠의 한근
이므로
1+1+a=0
4+2a+b=0
a=-2, b=0 a+b=-2
19. Ans)
Sol) 준식: |x-1|<|x-2|㉠
|x-2|<|x-3|㉡
㉠에서 |x-1|2<|x-2|2
x2-2x+1 x<㉢
㉡에서 |x-2|2<|x-3|2
x2-4x+4 < x2-6x+9
x<㉣
㉢,㉣에서 x<
20. Ans)②
Sol) 1,2,3,x,y,z의 여섯 실수로 코시-쉬바르 쯔의 부등식을 사용해 보면,
(1x+2y+3z)2
14(x+2y+3z)²
-x+2y+3z
M=, m=-
Mm=-14
21. Ans)
Sol) (a+b+c)(
=1+
=3+
3+2+2+2
=3+2+2+2=9 (단, 등호는 a=b=c 일 때)
m=9
a,b,x,y의 네 개 실수로 코시-쉬바르쯔의
부등식을 사용해보면
(ax+by)2
2(ax+by)2
-ax+by
M=
M+m=9+
22. Ans)③
Sol) ax+b > bx+a
(a-b)x+b-a>0㉠
㉠을 만족하는 해가 없으므로
모든 실수 x에 대하여 (a-b)x+b-a0
a-b=0㉡
b-a0㉢
㉡,㉢에서 a=b
23. Ans)⑤
Sol) 0 ①<1+<1+
<<
②<-<-1-<1-
<<
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3. 부등식
(p-1<0)
③ <1+<1+
<<
④ p0)
⑤ p0)
24. Ans)④
Sol) ab-a-b+1=(a-1)(b-1)>0
ab+1>a+b ㉠
abc-ab-c+1=(ab-1)(c-1)>0
abc>ab+c-1
abc+2>ab+c+1>a+b+c(㉠에서)
abc+2>a+b+c
25. Ans)①
Sol) x²-2(a+1)x+4a²0이 모든 실수 x에
대하여 성립해야 하므로
D/40 (a+1)2-4a20
3a2-2a-10
(3a+1)(a-1)0
a- or a1
26. Ans)①
Sol) |x-2| 2-k |x2-8|8 -8x2-88
0x²16
-4x4㉡
PQ=QP⊂Q이므로
㉠이㉡에 포함되어야 한다.
2-k-4
2+k4
k2
최대값 : 2
27. Ans)-1
Sol) x2-x-6<0①
x26x-5②
①에서 (x+2)(x-3)<0
-2 ②에서 x2-6x+50
(x-1)(x-5)0
x1 or x5
연립부등식의 해는 -2 구하는 최소 정수는 -1
28. Ans)④
Sol) x=1, y=-2를 반례로 하면 ①,②,③,⑤ 는 성립하지 않음을 알수있다.
④: x3-y3=(x-y)(x2+xy+y2)
=(x-y){(x+)²+}>0
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3. 부등식
29. Ans)③
Sol) |x2-2x+1| ≤ 4
-4x²=2x+14
x²-2x+50㉠
x²-2x-30㉡
㉠에서 (x-1)²+40
x는 모든 실수㉢
㉡에서 (x+1)(x-3)0
-1x3㉣
㉢,㉣에서 -1x3
정수는 -1,0,1,2,3, 다섯 개
30.Ans) ④
Sol) 근과 계수와의 관계에 의해
31.Ans) ①
Sol)
의 진리집합을 각각 P,Q,R이라 하면,
“”이므로
R=
이므로, 그림에서,
R Q∪P
0 a 2a 4
32. Ans) ①
Sol)
준부등식이 항상 성립하려면,
k의 최대값 :
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3. 부등식
33.Ans) ③
Sol) ①
② (산술 평균)(기하 평균)
③
④
⑤
34. Ans) ④
Sol)
35.Ans ) ③
Sol) A;
B;
AB= 이므로 그림에서
BA
-36 k
36.Ans) ④
Sol) (가)
(나)
(다)
(라)
(마) (반례; x=-2, y=-2)
(바)
(나),(다),(라),(바)
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3. 부등식
37.Ans) ④
Sol) 코시-쉬바르츠의 부등식에 의해
최대값: 6
38.Ans) ②
Sol) 산술 기하평균의 관계에 의해
최대값:
39.Ans) ④
Sol) 산술 기하평균의 관계에서
최소값 : 4
또, 최소값은 등호가 성립할 때이므로,
일 때 최소값 4를 가진다.
40. Ans)
Sol)
(
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3. 부등식
41. Ans) ⑤
Sol) 의 네 실수로 코시-슈바르
츠 부등식을 사용해 보면,
42. Ans) ⑤
Sol) 준식):
㉠에서
㉡에서
43.Ans) ③
Sol) 가로,세로를 각각 x,y(x>0,y>0)라 하
면,
이때 산술기하평균의 관계에 의해
44. Ans) ㉮: ㉯:3 ㉰:27
Sol)
(ⅰ) 1,1,1,a,b,c 의 여섯 실수로 코시-쉬바르
츠 부등식을 사용하면,
(ⅱ) 산술 기하평균의 관계에서
(ⅲ) 산술 기하평균의 관계에서
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3. 부등식
45. Ans) a=b=1
Sol) 증명과정 중
에서 등호는
일 때 성립하므로,
46.Ans) ④
Sol) 3,4,5,x,y,z가 모두 양수이므로
47.Ans) ⑤
Sol) ①
②
③
④
⑤
48.Ans) ④
Sol) 준식:
이 부등식이 모든 실수 x에 대해서 항
상 성립해야 하므로
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3. 부등식
49. Ans) ⑤
Sol) ①
②
③
④
⑤
50.Ans) ①
Sol) x>y>0
51. Ans) ②
Sol)
①에서 의 두 근을 라 하면 (0<
①의 해는
위 식(*)에 를 대입하면
정리하면,
즉, ②에서 의 두 근을
라고 할 수 있다.
따라서 ②의 해는
①,②의 공통 범위가 존재하려면,
즉,
이를 만족시키는 근의 조건은
따라서 두 근 사이에 1이 존재할 조건
은 y f(x)
c
0 1 x
[별해] 라
하면 문제의 조건을 만족시키기 위
해서는
y y
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3. 부등식
0 x 0 x
의 그래프가 위와 같아야 하므로
을 만족시키는 공통근은
따라서 x=1일 때,의 함수값이 음수
이어야 하므로
52. Ans) ④
Sol) 1점, 1.5점, 2점짜리의 문항 수를 각각 x,y,z라 하면,
에서
여기서 일 때, 이므로
문제의 조건을 만족한다.

키워드

최소,   최대,   준식,   방정식,   부등식