미분의 응용 사례 조사

본문내용

원운동의 가속도(구심가속도) 정의는 Vector 적이어야 하고 극한 적인 개념의 없이는 설명하기 곤란하다. 그런데 물리교과에서는 단순하게 가속도를 정의하고 있다.
이고 를 이용해서
이라 정의했다. 이것은 이해하기 곤란하다.
이것을 미적분을 이용하여 구해보면
로 양변을 미분하면
가 되어
가 된다.
선속도 는 각속도 와 그 축까지의 거리 과의 곱과 같다.
를 다시 로 미분하면
가속도의 접선 성분은 각가속도와 축까지의 거리의 곱과 같다.
원운동 하는 물체의 한 점의 가속도의 동경 성분 를 각속도 써서
으로 표시한다.
이와 같이 미분을 이용해서 설명하면 변화량에 대한 개념을 쉽게 파악하여 이해가 빠르고 편리하다.
※그 밖의 이용할수 있는 사례
전류(전하가 흐를 때의 변화율), 힘(일의 변화율), 열전도율, 온도변화율(위치에 대한 온도의 변화율)...
7)압축률 [壓縮率, compressibility]
압축에 의해 물질의 부피가 변화하기 쉬운 정도를 나타내는 수치이다. 체적탄성률의 역수로 영률과 푸아송의 비를 통해 주어진 물질의 압축률을 구할 수 있다. 이는 체적탄성률의 역수이다. 온도가 일정한 물체에 작용하는 압력이 ΔP 만큼 증가했을 때 처음의 부피 이 만큼 감소한다면 그 물질의 압축률 c는 로 표시된다. 일반적으로 기체는 압축되기 쉬우므로 압축률이 크고, 액체나 고체는 압축률이 작아 잘 압축되지 않는다. 균질등방성(均質等方性)인 고체에서는 영률 E 및 푸아송의 비 σ 와 압축률 c 사이에 라는 관계가 성립한다. 따라서 영률과 푸아송의 비를 알고 있으면 계산에 의해 그 물질의 압축률을 구할 수 있다.
8) 한계비용
이는 한계생산비라고도 한다. 총비용 증가분의 생산량 증가분에 대한 비율로 표시하며, 총비용을 생산량으로 나눈 평균생산비와 함께 생산비함수이다. 전형적인 한계비용함수는 U자형을 취한다. 즉 0의 생산량에서 출발하여 생산량이 증가함에 따라 한계비용이 점차 감소하다가 어느 생산량을 지나면 점차 증가하기 시작하는데, 이는 한계생산물의 감소와 증가를 반영하는 것이다. 기업의 목적이 총수입에서 총비용을 차감한 총이윤을 극대화시키는 것에 있다고 할 때, 한계비용과 한계수입이 일치할 때까지 생산을 증가 또는 감소시킨다. 한계수입은 생산물 한 단위를 추가로 판매할 때 얻어지는 총수입의 증가분이며, 한계비용과 한계수입이 같아지는 점에서 균형을 이루게 된다.
* 수요함수나 공급함수가 선형일 때
, (가격탄력성 등을 구할 때 사용됨)
* 비선형일 때
은?
[관찰] ① 현의 기울기
②
③ 공급함수가 비선형일 경우 특정한 가격에서 탄력성을 구할 수 없다 :
(일정한 값을 줄 수 없음)
"에 대한 의 미분“ (존재할 경우 유일성을 갖는다.)
점 에서 공급탄력성을 구할 수 있다:
[주의] ① : 가격의 변화량에 대한 공급량 변화량의 순간적인 변화율
②
한계수입과 한계비용
* 한계수입 : 판매 1단위당 총 수입 의 변화량
* 한계비용 : 생산량 1단위당 총 비용 의 변화량
* 총수입과 한계수입
[주의] ① 이 방법에 의한 의 측정은 정밀하지 못하다.
: 현 AB의 기울기는 의 크기에 의하여 결정된다.
: 이 성립될 수 있다.
② 정확한 의 계산은 의 계념에 의해 가능하다 :
③ 한계비용 :
기타 여러가지
나비효과와 DJ의 치욕
한 마리 나비의 날갯짓으로 발생하는 아주 미세한 공기의 진동이 수만 킬로미터 떨어진 장소, 나아가 미래의 어느 날 기후(날씨)에 영향을 미칠 수 있다. 그러나 어떤 영향을 어떻게 미칠지는 아무도 예측할 수 없다. "지구상의 어느 한 곳에서 일어난 한 마리 나비의 날갯짓이 지구 반대편에 토네이도나 기상이변을 일으키는 원인이 되기도 한다."는 말에서 비롯되었다. 어떻게 보면 아주 사소하고 전혀 관련이 없는데, 그것으로 인해 어떤 사물이나 사람에게 엄청난 결과가 일어날 수 있다는 것이다. 이것이 바로 나비효과(butterfly effect)이다.
1972년 12월 워싱턴에서 열린 AAAS(American Association for the Advancement of Science)에서 수학자이며 기상학자인 에드워드 로렌츠(Edward N. Lorenz)가 ‘Predictability' 라는 제목으로 강연을 했는데, 그 강연의 부제가 “브라질에 있는 나비 한 마리의 날갯짓이 텍사스에 토네이도를 일으킬 수 있을까?”(Does the Flap of a Butterfly’s Wings in Brazil set off a Tornado in Texas)였다. 이로부터 나비효과에 대한 논의가 시작되었다.
일반적으로 기상예보는 각 지점의 대류, 기압, 기온 등의 데이터를 가급적 많이 수집해야 정확도를 높일 수 있다고 믿었다. 그러나 로렌츠는 그러한 이론에 의문을 갖고, 각종 데이터를 늘리더라도 기상예보의 정확도가 높아지지 않는다고 추정한 것이다. 로렌츠는 미분방정식을 컴퓨터로 계산한 결과 기상(날씨)에는 불규칙적인 운동이 있음을 밝혀냈다. 그리고 기상의 초기조건이 극히 미세하게 바뀌었음에도 불구하고, 그 차이는 지수함수적으로 증폭된다는 것을 발견했다. 극히 미세한 오차가 장기적으로 커다란 오차를 낳게 된다는 것이다.
※미분을 이용하여 풀 수 있는 문제들
문제1. 어떤 상장 회사에 대한 국민의 투자액은 제시하는 배당률의 제곱에 비례하고, 또 회사는 투자액의 16.5%를 수익으로 남긴다고 한다. 배당률을 얼마로 제시하면 회사의 이익이 최대로 되는가?
답. 11%
-> 이런 문제에서는 수요와 공급, 수지 계산 등 경제에 관한 여러 가지 문제를 풀 때에 미분법을 활용하면 쉽게 해결할 수 있다.
문제2. 반지름의 길이가 4m인 원의 중심 바로 위에 광원이 있을 때, 원둘레의 조도를 최대로 하는 광원의 높이를 구하여라. 단, 평면 위의 점의 조도는 빛의 투사각 θ의 cos값에 비례하고, 광원으로부터의 거리의 제곱에 반비례한다.
답. 약2.8m
참고문헌 :
Journal of Science Education Chonnam National University Vol. 24. 11 - 23 (2000)
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대학 물리학 할리데이 -북스힐
한국과학기술정보연구원(KISTI)

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