기계공학실험 진동실험 외팔보의 연속체 진동 실험레포트

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기계공학실험 진동실험 외팔보의 연속체 진동 실험레포트에 대한 보고서 자료입니다.

본문내용

왼쪽 끝 편에 있는 요소 dx의 shear force이고, 는 오른쪽 끝 편에 있는 요소 dx의 shear force이다. f(x,t)는 단위 길이당 요소들에 가해진 외력의 합이다. 요소 dx에 y축 방향으로 가해지는 moment는 다음과 같다.
요소 dx의 회전 관성은 무시할만하므로 위 식의 좌변은 0이 되어야 한다.
dx가 매우 작으므로 도 무시할 만큼 작은 값이다.
이는 shear force는 bending moment의 공간에 따른 변화에 비례한다는 것을 보여준다.
만약 외력이 0이라면, 즉 f(x,t)=0이면
4개의 boundary condition은 beam의 끝에서 deflection, slope of the deflection, bending moment, shear force 이 4가지 조건에서 구할 수 있다. 위 식은 공간상으로 4차 미분을 포함한다. 따라서 해를 구할 때 네 개의 경계조건을 필요로 한다. 시간에 대한 미분은 여전히 2차이므로 두 개의 초기조건을 필요로 하며, 이 초기조건은 변위 및 속도에 관한 조건이다.
위 식을 변수 분리 후 공간방정식을 풀이하기 위한 경계조건은 보의 양끝에서 변형 w(x,t), 변형기울기 ∂w(x,t)/∂x, 굽힘모멘트 EI∂2w(x,t)/∂x2 및 전단력 ∂[EI∂w(x,t)/x2]/∂x를 검토해서 얻을 수 있다. 가장 흔히 볼 수 있는 보의 형태는 외팔보이다. 캔틸레버 보의 한쪽 끝은 고정되고 다른 쪽 끝은 자유로운 상태이다. 이 처럼 한쪽 끝이 자유로운 상태이면, 그 끝의 변위 및 기울기는 제한 받지 않는다. 그러나 굽힘모멘트와 전단력은 다음과 같이 모두 0이 되어야 한다.
beam의 끝단이 free end라면
bending moment= shear force =
initial condition은 initial deflection과 velocity에 의해 결정된다.
and
변수 분리에 의해 라는 해를 가정할 수 있고, 이를 운동방정식에 대입하면
,
라 하고, 해를 의 꼴이라 가정하면 일반해는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
여기서 와 네 개의 상수 중 세 개는 네 개의 경계조건을 이용하여 결정한다. 네 번째 상수는 시간방정식의 A, B와 결합되어 초기조건으로 계산된다.
3. 분석 및 계산
1. 외팔보 제원 - 재질: 알루미늄 , 길이 l=0.04m , 폭 w=0.01m , 두께 t=0.001m, 밀도 ρ=2800kg/m3 , Elastic modulus E=7.1x1010N/m2 , 단면적 A=wt=1x10-5m2
Moment of inertia I=wt3/12=8.3333x10-13m4
2. Aluminum의 elastic modulus E를 가지고 교재 Table 6.4에 계산된 외팔보의 고유 진동해 , , 를 이용하여 처음 세 개의 고유진동수 을 계산. .
=>
=>508Hz
=>2920Hz
=>8921Hz
교재 Table 6.4 Clamped-free 에 나온 식에 의해서 처음 세 개의 mode shape을 구하면 다음과 같고, 질점 (nodal point)은 mode shape가0이 되는 x의 값이다.
Mode shape1:
Mode shape2:
Mode shape3:
nodal point
x=0
nodal point
x=0
x=0.03272
nodal point
x=0
x=0.02016
x=0.03468
3. 실험순서 1번과 2번에서 나온 time data를 FFT하도록 Matlab에서 fft 명령어를 사용하여 time data를 FFT plot하는 m file을 만들고 제출하시오.
*실험 데이터 중 일부 구간의 시간-진폭 그래프
<= x=L일 때
<= x=0.774L일 때
<= x=0.868L일 때
-FFT PLOT
1. x=L일 때
-> 확대
33.33Hz , 776.7Hz , 900Hz
2. x=0.774L일 때
->확대
33.33Hz , 600Hz , 833.3Hz
3. x=0.868L일 때
->확대
33.33Hz , 833.3Hz , -
MATLAB Code
%먼저 실험결과 데이터에서 필요한부분만 뽑는다.
t=data(:,1) % 실험결과 데이터에서 1열의 데이터(시간)를 t로 가져온다.
V=data(:,2) % 실험결과 데이터에서 2열의 데이터(진폭)를 t로 가져온다.
Vf=abs(fft(V))/(75/2); %75는 데이터의 개수
f=(1:75/2)/(75*0.0004); %(3번의 실험 데이터를 모두 75개로 맞추었다)
plot(f,Vf(1:75/2)),xlabel('Frequency'),ylabel('Magnitude')
grid on
4. 3번의 FFT에서 처음 세 개의 고유 진동수를 구하고 이론식과 비교하여라. 오차의 원인은 무엇인가? 가속도계의 위치에 따라서 FFT graph에서 크기가 변하는 (응답이 잘 안 나타나는) 고유진동수는 무엇이고 그 이유를 설명하시오.
frequency = 0 일 때의 너무 높게 나와서 크게 확대해야만 그래프를 볼 수 있었다, 실험값은 33.33Hz , 776.7Hz , 900Hz가 나왔고 이론적으로 구한 값은 508Hz , 2920Hz , 8921Hz로 모두 비교할 수 없을 정도로 오차가 크게 나왔다. 오차의 요인으로는 보의 지지가 견고하게 지지가 안 되어 있을 수도 있어서 진동이 상쇄될 가능성도 있다고 본다. 한쪽이 확실히 고정이 안 되었다면 아마 두 쪽이 모두 진동이 되었을 테고 그렇다면 전체적인 보의 운동자체가 달라졌을 것이다. 그리고 실험장비자체의 오차도 있었을 것이다.
주파수가 정확히 들어맞지는 않았지만 실험결과를 보면 두 번째 0.774l(x=0.03096) 지점에서 측정한 결과에서는 ω2에 대한 응답이 거의 안타났다. 이는 이 지점이 위에서 구한 nodal point인 0.0372 지점이기 때문이다. 실험결과에서 잘 나타나진 않았지만 0.868l 에서 측정한 결과는 ω3에 대한 응답이 잘 안 나타나게 된다. 이것도 이 지점이 nodal point 이기 때문이다.
-참고 문헌-
Engineering Vibration 2nd Edition , Daniel J. Inman , Prentice Hall , 2001

키워드

연속체진동,   진동,   기계공학실험,   외팔보,   Cantilever Beam,   Distributed system