[수학교육 수학사]3차 및 4차방정식의 공식(해법)과 그 예제

목차

1. 방정식의 역사

2. 3차 및 4차방정식에 대하여...

3. 5차방정식에 대하여...

4. 3차 및 4차방정식의 해법

5. 3차 방정식의 해를 구하는 방법의 예제

본문내용

식의 해법의 발견을 둘러싸고 카르다노와 타르탈리아의 지지자 사이에서 벌어진 점잖치 못한 다툼질의 진상이 무엇이었건, 두 사람이 모두 이 해법의 최초의 발견자가 아니었다는 것만은 사실이다. 이 논쟁의 주역은, 현재는 거의 잊혀지고 있지만 카르다노가 밝힌 것처럼 볼로냐대학의 수학교수 페로였다.
-수학사대전 김용운, 김용국 공저-
①3차방정식의 해법 (카르다노의 <위대한 술법>에 실려있음)
의 해법은 본질적으로 다음과 같다. 다음 항등식을 살펴보자:
여기서 를 다음과 같이
,
으로 놓으면 는 로 주어진다. 이 마지막 두 방정식을 에 관하여 연립하여 풀면
,
이고, 따라서 가 구해진다.
② 4차방정식의 해법 (카르다노의 제자 페라리에 의해 해결<위대한 술법>에 실려 있음)
간단한 변환에 의하여 일반 4차 방정식이 다음과 같은 꼴로 쓸 수 있다.
.
그러므로 임의의 에 대해서
이제 우변이 완전제곱(판별식)이 되도록 를 취하자. 그 경우는 다음과 같은 때이다:
결국 이 방정식은 에 관한 3차방정식이고, 따라서 3차방정식 해법으로 풀 수 있다. 그러한 값 는 사실 본래의 문제를 제곱근을 구하는 문제로 바꿔 놓는다.
3차 방정식의 해법의 유도) 3차방정식의 해를 구하기 위하여...
라 치환하면,
이고 풀면
⇒
⇒
으로 변환된다.
즉, 의 형태로 변환된다.
따라서 3차방정식의 해법은 의 해를 구하는 것과 같은 문제가 된다.
의 해법은 본질적으로 다음과 같다. 다음 항등식을 살펴보자:
여기서 를 다음과 같이
,
으로 놓으면 는 로 주어진다.
이 마지막 두 방정식을 에 관하여 연립하여 풀어보자.
과 을 두 근으로 하는 2차방정식을 만들면
이므로
으로 된다. 따라서
=>
=>
※ 는 1의 허수근 (의 방정식을 풀었을 때 하나의 허근을 라 한 것임) 으로 을 만족하고 있다.
여기서 이다.
4차 방정식의 해법의 유도)
.
그러므로 임의의 에 대해서
이제 우변이 완전제곱(판별식)이 되도록 를 취하자.
그 경우는 다음과 같은 때이다:
결국 이 방정식은 에 관한 3차방정식이고, 를 구할수 있다.
이 하나를 로 하면
()
이라는 두 개의 2차방정식을 얻는다. 이 방정식을 풀면 해 4개를 얻을 수 있다.
5차방정식의 해법
1750년경에 오일러에 이어 라그랑쥬도 5차방정식의 해법을 구하는데 실패했고 이탈리아 의사인 루피니가 일반 5차 혹은 그 이상의 차수의 방정식들이 그 방정식의 계수에 관한 근거에 의해 표현될 수 없다는 사실의 증명을 하였다. 이 놀랄만한 발견은 1824년 그와 독립적으로 유명한 노르웨이 수학자 니일스 헨리크 아벨(1802-1829)에 의하여 밝혀지기도 하였다.
5. 3차 방정식의 해를 구하는 방법의 예제
문제) 의 3근을 구하여라.
풀이) 우선 으로 치환하면,
준식 은 로 변환되고,
결국, 의 해만 구하면 의 해를 구할 수 있게 된다.
3차 방정식 근의 공식에 의하면,
( 단, 는 1의 허수근으로 을 만족한다. )
에서 , 이기 때문에,
===
===
따라서,
,
-
-
그리고, 이기 때문에,
, , 이다.
∴ ■

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수학사,   3차,   4차,   방정식,   해법