사고력을 키우는 수학 책을 읽고

소개글

사고력을 키우는 수학 책을 읽고에 대한 보고서 자료입니다.

목차

서문 수학은 사고력을 키워 준다.

수학은 기본이 중요하다.
수학적 사고력을 향상시켜라

1장 천재 소년 가우스의 연구
1에서 100까지의 합
분수 계산도 간단히 할 수 있다.
필산을 하면 머리 회전이 좋아진다.

2장 종이와 연필의 세계로 떠나 보자
수학이란 무엇인가
쾨니히스베르크 다리 건너기 문제와 오일러의 발상
추상화하면 간단해진다.
좁은 의미의 수학과 넓은 의미의 수학
실험에서 구조의 탐구로 나아가라

3장 ‘추상화’하면 간편해진다.
한가지 형식의 매력
방정식을 조금 변경해 보면 새로운 사실을 알 수 있다.
일반화하는 다시 일반화를 부른다.
유추는 과학의 원동력
페르마의 정리가 와일즈의 정리가 되지 못하는 이유

4장 수학적인 감각이 뛰어나다는 말은?
수학 감각의 5가지 특성
독창적이어야 한다.
일반성이 있는가
수학화는 단수함을 선호한다
조화로운 아름다움을 추구한다.
구조적인 아름다움을 추구한다.

5장 수학은 사고의 산물이지만 사회 현상을 지배한다.
유클리드의 5가지 공준
새로운 기하학의 탄생
수학은 현실을 반영한 것

6장 문제 제기형과 문제 해결형 중 여러분은 어느 쪽인가?

7장 어떻게 하면 수학적인 감각을 향상시킬 수 있을까?
산만해서는 안된다.
‘자료를 수집해서 모조리 암기’하는 일은 그만 두어라
독선에 빠져서는 안된다.
다른 과목을 소홀히 여겨서는 안된다.
스스로 체험하라.

8장 수학적인 두뇌 사용법이란 무엇인가?
두루마리 휴지의 길이를 측정하기 위해서는?
머리를 약간 사용하면 편해진다.

9장 먼저 간단한 경우부터 생각하라

10장 어쨌든 손을 움직여라

11장 머릿속에서 자유롭게 움직여라
한쪽으로 모아라
‘초과된 부분만큼 빼는’원리
‘피타고라스의 정리’의 증명
두루마리 휴지를 묶은 끈의 길이는 얼마인가?

12장 간단하게 다시 만들어라
별 보양의 다각형의 내각의 합을 구하라

13장 불필요한 부분을 찾아내라
지금 무엇을 요구하고 있는가?
나팔꽃 덩굴의 길이를 측정하라
바퀴벌레가 달린 거리는 얼마인가?
복잡한 문제도 해결할 수 있다!
문제의 본질을 파악하면 응용도 가능하다

본문내용

두뇌 사용법이란 무엇인가?
두루마리 휴지의 길이를 측정하기 위해서는?
구체적인 문제를 살펴보자. 이 문제는 명문 중학교 입시와 공무원 시험에 출제된 문제이다.
문제] 그림과 같이 휴지의 두께가 0.02cm 인 두루마리 휴지가 지름 10cm의 중심축에, 지름 20cm의 크기로 감겨져 있다. 두루 마리 휴지의 전체 길이를 구하라.
힌트1] 구하고 푸는 방법을 여러 가지로 생각한다.
힌트 2] 지름의 길이와 원의 둘레 원의 넓이를 알도록 한다.
해법 1] 실제 화장지를 준비해 길이를 측정한다.
해법 2] 바깥부터 20(파이) 안쪽으로 갈수록 길이가 0.04줄어들기 때문에 19.96(파이)..... 10.04(파이)까지 계산하면 된다. 덧셈을 250번 해야 한다.
해법 3] S=20+19.96+19.22+ ......... + 10.08+10.04
+ S=10.04+10.08+................... +20
--------------------------------------------
2S=30.04*250=7510
S=118cm 이다.
해법 4] 넓이를 이용하여 계산한다.
102∏-52∏=75∏=0.02x
따라서 118cm 가 된다.
머리를 약간 사용하면 편리해 진다.
해법 1]은 수학이 아니다. 그러나 가장 선호하는 방법이다. 해법 2는 수학의 초기 형태이다. 아르키 메데스의 원주율 계산이 포함된 것이다. 그러나 덧셈을 여러번 해야한다. 해법 3은 등차수열의 합이다. 초등학생에게는 아직 어렵다. 해법 4는 넓이를 세분하는 적분의 개념이 포함되어 있다. 머리를 약간 사용하면 편리해 진다는 표현을 할 수 있다. 두 번째 단계부터 육체 노동이 아닌 정신 노동으로 바뀌고 추상화하여 종이와 연필의 세계로 옮겨가게 된다.
9장 먼저 간단한 경우부터 생각하라.
입시문제중에서 단계적으로 풀도록 지시하는 경우 반드시 이런 방법으로 풀어야 한다고 문제를 한정짓는다. 자유로운 발상을 제한하는 것이다. 그러나 이런 문제는 보통 어려운 문제이므로 복잡한 형식을 제시하는 것이므로 단계를 묻는 것이 더 적절하다고 반문할 수 있다. 긍정적인 측면은 어려운 문제를 접했을 때 쉬운 문제부터 해결하여 유추적용할 수 있다. 유추는 그만큼 수학에서 중요한 감각이다. 생물학자가 수학자는 아메바의 소화과정을 인간의 소화 과정에 유추 적용한다고 농담으로 한다. 완전하게 다르게 보이는 과정속에 공통점이 있는 것은 사실이며, 수학자는 복잡한 문제의 본질에 접근하려고 한다. 기원전 1800년부터 알려진 피타고라스 문제의 경우 정수에서 무리수의 범위까지 넓힐 수 있으며, 이것은 유추의 위력이라 할 수 있다.
먼저 간단한 문제부터 푼다음 유추적용하면 암기량을 줄여준다.
문제] 반지름 6cm인 구의 중심을 O라고 한다. 또한 O를 꼭지점으로 하는 원뿔이 있다. 2가지의 입체가 겹쳐진 부분 C의 부피를 구하라. 단, 그림에서 C의 밑변(구면의 일부)의 넓이는 10cm2이다.
위의 문제를 풀기에 앞서 간단한 문제를 풀어보도록 하자
문제] 반지름 8cm 인 원에서 그림과 같이 호의 길이가 4cm 인 부채꼴을 잘라냈을 때, 회색인 부분의 넓이를 구하라.
힌트] 부채꼴의 넓이는 심이 없는 두루마리 휴지를 잘라냈을 때, 옆에서 본 그림이라고 생각하면 좋다.
해법] 부채꼴의 넓이
휴지를 잘라서 바닥에 떨어뜨린다고 하자
잘라진 부분은 삼각형 모양으로 쌓이며, 호의 길이는 4cm이다.
따라서 16cm2이 나온다.
해답] 부피의 문제
밑면의 넓이가 10cm2, 높이가 6cm의 원뿔의 부피를 구하면 된다.
따라서 10*6/3=20cm2이된다.
10장 어쨌든 손을 움직여라
앞장에서 간단한 것부터라는 것은 간단한 것이 해결 가능하기 때문이다.
시험장에서 멍하니 문제만 바라보는 학생들을 본다. 그러나, 문제를 보고 연필을 쥐고, 아무 그림이라도 그리라고 하고 싶다. 만일 7일 동안 7리터의 물을 마셨다. 그럼 하루에 몇 리터의 물을 마셨을까 라는 질문이 있을 때 7*7=49로 계산 하열 49 리터로 계산할 수도 있다. 손을 움직여 계산을 쉽게하고 직관적으로 판단하는 연습을 해야 한다. 직관적인 문제의 예로 다음문제를 소개한다.
그림처럼 8개의 돌을 원형으로 늘어놓고 다음과 같은 방식으로 돌을 제거해 간다. 돌 A부터 시계 방향으로 순서대로 따져서 7번째 돌 G를 제거한다. 다음에 G의 옆에 있는 돌 H부터 시계 방향으로 따져서 7번째의 돌을 제거한다. 그럼 돌 F가 마지막에 남게 하려면 어느 돌부터 이런 순서로 계속해서 돌을 제거해야 할까? 즉, 어느 돌부터 세기 시작했을까? 단, 순서를 따질 때 제거한 돌은 포함시키지 않는다.
해답] 이것은 꼭 바른 해답이라고는 할 수 없지만 A부터 시작해서 끝까지 따져본다. 그리고 이것을 중국음식점의 회전판이라고 생각하고 남은 돌이 F자리에 오도록 한다. 그럴 때 처음 시작했던 돌의 위치를 알수 있다.
11장 머릿속에서 자유롭게 움직여라
한쪽으로 모아라
앞장에서 실제 규모가 커서 복잡한 경우 머릿속에서 움직여 보면 된다. 머릿속에서 얼마든지 자유롭게 움직일 수 있기 때문이다. 기학학읜 탄생은 나일강의 선물이라고 한다. 그 이유는 나일강이 해마다 바뀌기 때문에 땅의 형태를 다시 측량해야 했기 때문이다. 유프라데스강과 티그리스 강도 마찬가지로 수학이 발달한 것은 우연이 아닐 것이다. 피타고라스의 직각삼각형 3변의 길이에 관한 문제도 측량을 통해 탄생하였다.
문제] 그림과 같이 가로 255m, 세로 45m인 직사각형의 주택지가 있다. 이 땅에 가로 방향과 약간 경사진 세로 방향의 그림과 같은 길을 만들었다. 이 땅의 넓이를 구하라.
사실 초등학교에서 배운 것으로 풀면 간단하지만 5*5를 빠뜨리기 쉬운 문제이다.
힌트] 넓이는 변하지 않게 하고, 모양만 변형시키면 계산이 쉬워지는 사고법을 이용하라.
해답] 길을 잘라낸 땅의 부분을 왼쪽과 위로 모은다. 그러면 다음과 같은 직사각형이 된다.
그래서 40*250=1000(m2)이 된다.
한쪽으로 모으는 풀이 방법을 사용하면 가운데 더해진 땅을 더하지 못하는 실수는 없을 것이다.
문제] 그림과 같은 땅의 경우에는 어

키워드

사고력,   수학,   오일러,   유클리드,   추상화,   수학감각