[공업수학]공리

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[공업수학]공리에 대한 보고서 자료입니다.

목차

공리란 무엇인가?
● 공리(axiom)란 무엇인가?
● 공리의 요소
● 공리에 대한 입장
● 공리의 요건
● 공리의 근거
● 집합과 공리의 방법
● 공리론적 수학의 발달

본문내용

제로 기하는 이러한 방향으로 발전되지 않았고 오히려 공리의 수를 가능한 적게 하고 그 나머지의 모든 기하적 명제들을 이 적은 수의 공리로부터 연역적인 추론에 의해 증명하고자 하였다.
이렇게 기하의 지식 체계를 만드는 데 더욱 어렵고 복잡한 방법을 택하는 데는 몇 가지 이유가 있다. 첫째로 공리 속에는 앞으로 연역될 전체의 기하가 내포되어 있다고 볼 수 있으므로 각각의 의미가 매우 크다. 따라서 공리의 개수가 적으면 적을수록 각각의 공리에 의해 밝혀지는 공간적 성질이 훨씬 깊이 있고 심오하며 중요해지는 것이다. 둘째로는 공리의 수가 적을수록 각 공리의 타당성과 공리 전체의 적합성을 조사하는 것이 쉬워진다.
따라서 한 공리 계를 만드는 문제는 기하의 가장 근본적이고 일반적인 중요한 성질 중 가장 적은 수의 명제들을 선택하는 것과 어떻게 이러한 명제를 선택할 것인가 하는 것이 문제이다.
● 집합과 공리의 방법
파라독스의 출현은 오늘날까지 완전하게 풀리지 않고 있는 수학의 기초에서 위기의 시작을 표시했다. Cantor의 \"정의\"에서 구체화되던 것처럼 집합에서 직관적인 개념은 집합론에 대한 만족 적인 기초를 명확하게 증명하지 못했다. - 전체로서 수학에 대하여 적었다. 특별한 타입의 개념과 정의를 제거함으로서 파라독스를 없애려는 하찮은 노력도 실패했다. 완전히 새로운 접근을 필요로 했다.
1905년부터 연구가들이 이 문제들을 다루는데 있어서 여러 가지 방법을 제시했고, 발전시켰다. 그 대부분은 세개의 콘 부분으로 분류할 수 있다. 즉, 그것은 \"aximatic\", \"logistic\", \"intuitionist\"라 불리는 학파, 주요 그룹들이다. 이 과의 나머지에서 우리는 이 세 방향의 사상을 소개한다. 그러나, 처음에는 주로 공리방법을 개발하는데 보게 된다. 수학의 공리 방법은 기원전 300년쯤에 Euclid의 Element가 나오고, 고도로 발전된 형식으로 나왔다. Euclid에 의해서 알려진 이 공리 방법은 오늘날 수학의 모든 분야의
특징적인 양상이 되었다. 그러나 기하학 이외에 적용된 것은 최근부터다. 따라서, 공리 체계에 대한 우리의 현대적인 이해와 일반적인 연역적 생각은 대부분 기하학 분야의 연구에서 비롯되었다. 따라서, 공리 방법의 개발을 자극한 기하학에 있어서의 주요한 발전을 보는 것이 좋겠다.
Euclid와 그의 시대에서, 공리와 공준은 \"truths\"를 표현한다. 진문을 넘을 수 없는 예를 들면, 기하학의 명제의 절대적인 진리에 대한 이 신념 때문에 Euclid의 \"parallel postulate\"에 관한 수천년 동안의 논쟁이 있게 된 것이다. 이 공리에 의하면 두 직선 A와 B가 제 3의 직선 C와 만날 때 A와 B는 반드시 만난다. 이 명제는 \"obviously true\"같았지만, 그것이 다른 공리만큼 간결성을 가지지 않았기 때문에, Euclid부터 1700년대까지의 기하학자들은 대대로 여러 가지 가정을 써서 이것을 증명하려고 노력했지만 허사였다. 단지 19세기 중엽에, 이 문제는 Bolyai와 Lobachevski에 의하여 해결되었다. 즉, 두사람 모두 평행선 공준 대신에 그것과 모순되는 가정을 세움으로서 \"non-Euclidean\" 기하학을 발전 시켰다. 비 Euclid 기하학은 Euclid기하만큼 합리적이란 것이 증명되었다. 즉, 그것은 Euclid적인 해석이 가능하였기 때문이다. (즉, \"point\", \"line\", \"angle\"등을 적당히 다시 해석함으로써 Bolyai 또는 Labachevski의 공준이 Euclid의 기하학에서도 성립한다) 따라서 평행선 공준은 Euclid의 체계 속에서 다른 공리와 공준에 대하여 독립일 뿐만 아니라, 반면으로 Euclid기하만큼 모순이 없으면서 우리의 일상 생활이 경험하는 공간을 설명하는 것이 아닌 기하학이 성립하게 된다. 따라서, 공리란 것이 \"universal truths\"가 아니라 우리가 한 이론에서 그 전제로서 어떤 명제를 사용하고자 하는 것이라는 인식에 도달했다. Euclid의 원리에 있어서의 최대의 결점은 Euclid가 공리에 의하여 제시한 것이 아닌, 암암리에 가정한 여러 가설이다. 예를 들면 어떤 증명에서 두개의 원은 각각 다른 쪽의 중심을 통과 할 때 두개의 공통점을 가진다고 했지만, 공리에는 이런 점의 존재를 가정하지 않았다. 또 다른 데에서는 Euclid는 두 점 사이의 한 점에 대해; 그는 \"betweenness\"라는 개념을 정의하지 않았고 또 그 성질을 공리로 세우지도 않았다. 또 다른 주장에서는 원론은 rigid motion을 말하고 있지만, 개념을 정의하지 않았고 공리에서 그런 언급을 하지 않았다. Euclid에는 논리적 추론의 연쇄가 가끔 중단되는데, 그 까닭은 직관적 인정에 호소하기 때문이다.
19세기에 이르러 이 결점이 발견되었을 때 수학적 이론은 공간적 또는 기타의 직관의 매개를 거치지 않고 전개될 수 있어야 하겠다는 이해가 생기게 되었다. 즉, 어떤 대상과 관계 (예를 들면, \"점\", \"선\", \"사이\" 등)는 \"무정의 개념\"으로 인식되고 그 성질이 완전히 명시되어 있어야 하며 연역적인 방법은 개념과는 독립이어야 한다. 1882년에 M. Pasch가 처음으로 기하학의 구성을 발표하여, 직관에의 호소를 제거하는 것이 목적이라고 명백히 말하고 체계적으로 실천하였다.
19세기말에 공리론적 방법의 현대적 개념이 고개를 들기 시작했다. 그 개관에 있어서 Euclid의 생각과 다를 바가 없었다. 즉, 어떤 명제들이 \"공리\"로 채택되고 그 이론에서의 그 외의 명제는 논리적 추론을 통하여 그 공리에서 유도될 때 그 수학적 이론을 \"공리론적\"이라고 한다. 그러나 수학적 \"증명\"의 형식적 성격에 대한 새로운 이해가 있었다. 가능한 한 공리는 충분히 자세하여야 하며, 논리적 연역의 법칙은 충분히 공명정대하여, 증명의 과정에서 직관이나 꾀가 잠입할 필요가 없어야 한다. 이상적으로 말한다면
증명이 맞았느냐 틀렸느냐 하는 것을 계산기계가 증명해 줄 수 있어야 한다.
수학이 영어와 같은 일상 용어로 구성되는 한, 인간의 이해를 위하여 명제의 해석과 복합 문장의 구조의 발견이 필요하다. 따라서, 수학적

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공업수학,   공리,   기계,   대수