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일 수학자 바이어스트라스(1815~1897)는 치환 에 의하여 와 의 유리함수가 t에 대한 보통의 유리함수로 변환됨을 알았다.
a) , 일 때 직각삼각형을 그리거나 삼각항등식을 이용하여
,
임을 보여라.
b) , 임을 보여라.
c) 임을 보여라.
풀이>a) 라고
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일 때 극점을 통과하므로 우리는 에 대해서 면적을 구하고 4배를 할 것이다.
문제 7>
풀이>곡선의 전체 면적은 극축과 에서 까지의 면적의 6배 이다.
문제 9-4-8> 곡선 의 개형을 그리고, 곡선으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하여라.
풀이&g
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일 때 구간 최대값을 갖고 은 양수에서 음수로 바뀐다.
x > 0 인 경우 이는 일 때 일어난다. 따라서
x < 0 인 경우 일 때 은 양수에서 음수로 바뀐다. 따라서
은 x=0 일 때는 부호가 바뀌지 않는다.
b) S는 일 때 위로 오목이다.
를 미분하면 을 얻
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일 때 극값을 갖는다.
문제 20>
풀이>이므로
그래프는 피적분함수f가 음수에서 양수로 바뀔 때 극소값을 갖는다.
문제 7-1-21> a) 예제6의 점화식을 이용하여
임을 보여라.
b) (a)의 점화식을 이용하여 를 계산하여라.
풀이>a) n=2이면 예제6
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> a, b가 고정된 수일 때, 그림에서 점P의 모든 가능한 위치들로 구성된 곡선의 매개방정식을 구하여라. (이 때 각 를 매개변수로 사용하여라.)
풀이>와 처럼 보인다.
그림에서 이고 이므로
매개변수 방정식은 이다.
를 소거하기 위해서 과
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f(0)＝0 일 때, 위치함수 s=f(t)를 구하여라.
풀이>
라고 하면
문제 7-2-33~34> m, n 이 양의 정수일 때 다음을 증명하여라.
문제 33>
풀이>피적분함수가 기함수이다. 즉 f(-x) = -f(x)이므로
문제 34>
풀이>
만약 이면 이 식은
만약 이면
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쏟아진 자갈은 지름과 높이가 항상 같은 원추형을 이룬다. 자갈더미의 높이가 10ft 일 때, 이 높이는 얼마나 빨리 증가하는가?
풀이>
h = 10 ft 일 때
문제 2-9-13> 삼각형의 두 변의 길이는 각각 4m, 5m 이고 두 변의 사잇각은 0.06 rad/s의 비율로
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일 때 x에서의 다른 쌍곡선함수의 값을 구하여라.
풀이> 이므로 x>0
(이므로)
문제 6-6-12> 쌍곡선함수들이 정의를 이용하여 다음의 극한값을 구하여라.
a) b)
c) d)
e) f)
g) h)
i)
풀이>a)
b)
c)
d)
e)
f)
g) (양수에서 이고 이므로)
h) (음수
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이므로 이라 하면
첫 두항의 합은 , 세항의 합은
∴
8.
(a)
<풀이>
∴
(b) (a)에서 일 때
9.
(a)
<풀이>
(b)
10.
(a)풀이
∴
∴
(b)
<풀이>
(c)
<풀이> (b)에서 는 에서 연속이므로
에 대해
∴ 10. 11 Taylor 다항급수의 응용.
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추정해보니 창구의 수가 2, 3일 경우는 다음과 같았다(실제값이 아닌 하나의 예). (1), (2), (3), (4)에 들어갈 값을 적어라.
창구의 수
대기행렬의 평균 길이
평균 시스템 체제 시간
1
(1)
(2)
2
1.5
(3)
3
1
(4)
(1) 3.2
(2) 1/3
(3) 0.19
(4) 0.15 없음
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