|
일 때 이므로
모든 에 대해 은 감소한다.
(by 로피탈의 정리)
∴교대급수판정법에 의해 는 수렴한다.
11.
<풀이>
∴근판정법에 의해 는 절대수렴한다.
12.
<풀이> 이라 하고, 극한비교판정법을 이용하면,
이 발산하는 조화수열이므로 또
|
|
|
일 때 내부고리를 가진다는 것을 보여주고 있다.
① 이것을 증명하고,
②이 내부고리에 대응하는 값을 구하여라.
b) 그림 18에서 일 때 limacon은 dimple(오목한 곳)이 상실된다. 이것을 증명하여라.
풀이>a) 우리는 r=0인 원점에서 곡선이 스스로
|
|
|
로
일 때 이고 이므로
따라서 y = x 와 y = -x는 둘다 (0,0)에서 곡선의 접선이다.
문제 9-2-14> a) trochoid , 의 접선의 기울기를 로 나타내어라.
b) d<r 이면 이 곡선은 수직접선을 가지지 않음을 보여라.
풀이>a) 이므로
b) 이면 이므로
이는 가
|
|
|
일 때,
∴매개변수방정식은
15.
(a) ,
∴이 곡선은 매끈하지 않다.
(b)
component function이 연속이므로 은 연속이다.
또한 일 때만 component가 0이므로 ,
∴이 곡선은 매끈하다.
(c)
∴곡선은 매끈하지 않다.
16.
<풀이> 두 곡선의 교각은 두곡선의
|
|
|
일 때 같은 극한을 가짐을 확인함으로써 로피탈의 법칙을 설명하고, 또 정확한 극한값을 계산하여라.
풀이>그래프로부터 처럼 보인다.
문제 6-7-34~36> 필요할 때에는 로피탈의 법칙을 사용하여 3.5절의 A~H에 따라 곡선의 그래프를 그려라.
|
|
|
은 비판정법에 의해 일 때 수렴한다.
∴수렴반경 은 1이다.
그런데 인 경우 은 인 p-급수이므로 발산한다.
일 때 은 교대급수판정법에 의해 수렴한다.
∴수렴구간 이다.
3.
<풀이> 이라 하면,
비판정법에 의해 는 일 때 수렴한다.
∴수렴반경
|
|
|
일 때 즉, 일 때 수렴한다.
14.
<풀이> 만약 라면 이므로 위 급수는 수렴하지 않는다.
또한 일 때도 급수는 발산한다.
만약 라면 은 [1,∞)에서 연속이고 양의 값을 갖는
감소함수이므로 적분판정법을 사용하면,
이 극한은 일 때 즉, 일 때 수
|
|
|
일 때 -1이므로 의 최소값은 일 때
이때 는 의 반대방향이다.
(b)
∴는 에서 방향으로 급격하게 감소한다.
15.
<풀이> 가장 빠른 변화의 방향은 이므로
인 모든 점을 찾는다.
∴위의 모든 점.
16.
(a)
(b) (a)로부터 이고, 가 의 위치벡터
이므로
|
|
|
일 때 f(t) = g(t) -h(t)를 생각하라.]
풀이>g(t), h(t)를 두 주자의 위치 함수라고 하고 f(t)=g(t)-f(t)라고 하자.
f(0)＝g(0) - h(0) 이고 f(b)＝ｇ(b) - h(b) = 0 (b는 끝나는 시간)이다.
평균값 정리에 의해서 0 < c < b에서 인 c가 존재한다.
그런데 f(b) = f(0) =
|
|
|
f의 역함수일 때 을 구하여라.
문제 20>
풀이>이고 이고
이므로
문제 21>
풀이>이고
이고 이므로
문제 6-1-22> 함수 g는 f의 역함수이고, f(4)=5, 이다. 를 구하여라.
풀이> 이므로
문제 6-1-23> 함수 의 역함수의 양함수 형태를 컴퓨터
|
|
메뉴펼치기
