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13. 4 접평면과 일차근사식
1.
<풀이>
법선의 방정식은
2.
<풀이>
법선의 방정식은
3.
<풀이>
∴
∴
6.
<풀이>
∴
모두 에 대해 연속이므로 정리 8에 의해 에서 미분가능하다.
식 (3)에 의해 접평면은
7.
<풀이>
∴
모두 연속
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일 때 최소값을 갖는다.
∴일 때 최소값은
11.
<풀이> 축의 양의 방향에서
이므로
일 때 이므로
∴
이므로
12.
<풀이> 이고 발사각이 이므로 속도의 방향은
, 이고 공기저항은 무시하면, 중력만이 영향을 준다.
∴이고
(a) 라 하면
∴
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C 의 평균변화율을 구하여라.
i) x=100에서 x=105
ii) x=100에서 x=101
b) x=100일 때 x에 관한 C의 순간 변화율을 구하여라(이것을 한계비용이라 정의한다. 이것의 주요성은 2.4절에서 설명되어질 것이다.)
풀이>a-i)
a-i)
b)
따라서 순간 변화율은
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일 때
의 형태이므로 으로 쓸수 있다.
그리고 가장 짧은 선의 길이는 가 된다.
문제 3-7-24> 둘레가 일정한 이등변감각형들 중 넓이가 가장 큰 삼각형은 정삼각형임을 보여라.
풀이> 따라서
면적
둘레
따라서
일 때 이고 일 때 이므로 에
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일 때 점점 더 진동하는 것을 나타낸다.
문제 1.2.20> 그래프를 이용하여 아래 곡선
의 모든 수직점근선의 방정식을 추정하여라.
풀이> 그래프로는 의 수직점근선은 과 같이 보인다.
수직점근선에 대한 정확한 식을 구하기 위해서 먼저 탄젠
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는 정확하지 않다.
16.
<풀이>
17.
(a) 강물이 깊다면 은 크고, 일 때, 이므로,
이고, 이다.
(b)
n
0
0
1
1
2
0
3
-2
의 Maclaurin 급수 첫 항은 이므로, 물이 얕다면,
18.
(a) 은 중심각 를 갖는 호의 길이이므로
(b) 이고, (a)에 의해
(c) 라 하면 ,
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일 움직여야 하는가?
풀이>3ft = 36in
문제 6-3-24> 지질학자 C.F Richer는 지진의 진도를 로 정의 하였다. 여기에서 I는 지원지에서 100km 떨어진 지진계에 의해 측정된 지진의 강도이고, S는 표준지진의 강도이다. (여기서 진폭은 1micron = ). 1989년에
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일 때 를 구하여라.
풀이>
문제 6-2-27> a) 중간값 정리를 이용하여 방정식 의 해가 존재한다는 것을 보여라.
b) 뉴턴방법을 이용하여 a)의 방정식의 근을 소숫점 아래 여섯째 자리까지 구하여라.
풀이>a) 는 R에서 연속이고 이므로 중간값 정
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일 때, 위 수열은 수렴.
27. 수열 {}이 증가수열이고 모든 항이 5와 8사이에 있을 때 극한을 갖는 이유를 설명하고 극한값에 대해 말하라.
<풀이> {}이 증가수열이기 때문에 모든 n에 대해, <이다.
수열의 모든 값이 5와 8 사이이므로 수열 {}
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일 때, 이므로 모든 L에 대해 이다.
위 (*)에서
19.
(a)
∴
(b)
, ∴
20. 이 수렴이면
<풀이> 부등식 을 모두 합하면,
21.
(a) 이 절대수렴하고 이므로 비교판정법에 의해
모두 절대수렴 해야 한다. (by 정리 10.2.8)
(b) 귀류법 사용
가 수렴한다면
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