집합론의 역사와 역설

소개글

집합론의 역사와 역설에 대한 보고서 자료입니다.

목차

1. 집합론의 배경

2. 역설

3. 공리론적 방법

4.공리론적 집합론

5. 공리적 구성에 대한 반론 및 여러 가지 대안

6. 결론

본문내용

. 즉 수학정리란 어떠한 정신 속의 구성이 djEJ한 결과를 가져오게 한다는 뜻에 있어 사실적인 명제에 불과하다. 모든 증명은 구성적이어야 한다. 우리가 수학적 대상이 존재한다고 주장하려면, 실제로 대상을 구상하는 방법을 제시하고 이를 증명하여야 한다. 주어진 대상의 쌍들 사이에서 어떤 관계가 성립한다고 말하려면 문제가 되고 있는 대상들의 모든 쌍에 대하여 확인하는 방법이 포함되어야 한다. "논리규칙"이란 수학적 구성을 실해하는 과정에 대한 단순한 평에 불과하다. 구성적인 수학과 관련된 범위를 넘어서까지 이 법칙이 적용된다고 믿을 근거는 아무것도 없다. 실제로 이같은 관련 범위 밖에 까지의 규칙을 적용하는 것은 무의미 하다. 수학에 있어 논리는 부수적인 것이며 본질적인 것은 아니다.
이러한 직관주의자들의 가지는 집합개념이 우리의 그것과 다르다는 것은 분명하다. 예를 들어 Cantor의 원리를 생각해보자. 그것은 만일 대상의 속성이 주어지면 그 속성을 지닌 집합이 존재한다는 원리가 그것이다. 지금 이 원리는 마땅하지 않은 것이라고 직관주의자들은 본다. 대상은 구성될 경우에만 존재한다. 따라서 집합은 그것을 구성할 수준이 진술될 경우에만 존재한다. 이것이 직관주의자들의 주장이다.
직관주의적 수학에서 중요한 틔겆한 집합을 소개하는 것은 필요한 일이다. 그것은 spread라는 것이다. spread란 것은 모든 원소를 만들어 내는 규칙을 말한다. 따라서 spread란 "이미 형성된" 전체를 달하는 것이 아니며, "형성하는 과정"을 말한다. 그것의 원소는 충분히오래 이 규칙을 적용하며 언젠가는 형성할 수 있다. 역설이 직관주의적 집합론에서는 생기지 않는다. 역설에 나타나는 집합은 직관주의적 수학에서는 만들어질 수 없으며 또한 직관주의적 논리를 써서는 본질적인 논의를 표현하지 못하기 때문이다.
6. 결론
20세기 초에는 이미 앞에서 본 바와 같이 여러 가지 무모순한 집합론이 제창되어 수학의 여러 학파로 발전되었었다. 우리는 공리론적 집합론의 기본 원리를 요약하였으며 Russell의 타입의 이론과 집합에 대한 직관주의적 접근을 요약하였다. 그러나 이 밖에도 여기서 언급하지 않은 여러 가지 사상 또한 많다.
집합을 다루는 모든 방법 중에서 공리론적인 방법이 현대수학의 요구에 가장 잘 어울린다고 생각된다. Zermelo와 Von Neumann 체계에 있어서 "집합"의 개념은 수학의 모든 목적을 위해서는 충분히 광범위한 것이며, 따라서, 수학 주변에서는 실제로 그것이 Cantor의 집합개념과 별로 다르지 않다. 증명의 방법과 기호의 사용과 엄밀성-이 모두가 현대수학의 관습과 일치한다. 특히 중요한 것은 대부분의 현역 수학자들이 공리론적 집합론을 볼때 자연스럽게 보인다는 점이다.
공리론적 집합론을 배치하는 사람들은 어떤 철학적인 견해 차이 때문에 그러한 것이다. 그러나 공리론적 집합론을 인정하기를 거부하는 철학적 입장은 그와 동시에 현대수학의 많은 부분의 타당성을 부인한다. 예를 들면 직관주의학파는 현대해석학의 대부분이 구성적인 원리 위에 이루어지지 않았다하여 부정한다. 이와 같은 비판은 도전적이며 우리에게 깊이 생각할 문제를 제기하지만, 그것이 수학에 있어 화려한 3세대에 걸친 업적을 무너뜨릴 힘은 가지지 못한다.
과거 70년 동안 집합론은 기초적이며 또한 여러 수학분야를 통일할 것으로 인정받게 되었다. 집합론의 범위 안에서 자연수가 어떻게 구성되는냐는것과 도출된 여러 성질도 이미 앞에서 보았다. 거기로부터 유리수로 발전하는 것은 쉬운 일이며 실수 복소수 그리고 Cantor의 유명한 "초한기수"까지도 전개할 수 있다. 함수, 관계, 연산 등의 개념도 집합을 써서 쉽게 정의된다. 따라서 수학의 모든 분야가 집합론 안에서 구성된다.
따라서 다음과 같은 물음은 당연할 뿐만 아니라 사실에 잇어서도 절대로 필요한 일이다. "집합론이 수학 전체의 체계에 대한 기초를 위해 얼마나 안전성을 보장할 수 있느냐?"특히 공리론적 집합론이 무모순하다고 절대로 단정할 수 있는가? 만일, 그렇다면 그 안에서 발전시킨 모든 것-즉 모든 수학-이 무모순성일 것이다. 만일 그렇지 않다면 그 위에 우리가 무엇을 건설하든 그것은 무가치한 것이 될 것이다.
그러나 사실은 공리론적 집합론의 무모순성에 관해서는 아무것도 증명되지 않았다. 그러나 현대 논리학의 결과를 보면 이는 그다지 놀랄 일은 아니다. 예를 들면, 1931년 K. Godel은 정상적인 산술의 무모순성을 유한적으로는 증명할 수 없음을 증명하였다. 수학의 거의 모든 분야에 대해 상황은 마찬가지다. 따라서 현 시점에서 우리가 공리론적 집합론에 대하여 가지고 있는 최선의 보장은 낮익은 역설이 정상적인 방법으로는 도출되지 않는다는 점뿐이다. 현 시점에서 우리는 그 이상을 바라지 못한다. 상대적 무모순성에 관한 결과도 약간 흥미가 있다. 만일 Zermelo의 공리론적 집합론이 무모순하다면 Von Neumann의 공리론도 또한 무모순하다는 것이 최근에 증명되었다.
최종적 분석으로는 아마도 수학의 무모순성에 대한 보장은 기초적인 직관과 경험적 확증을 겸한 점에서 이루어지는 것이 아닐까 한다.
참고문헌
집합론 You-Feng Lin, Shwu-Yeng T. Lin 지음. 이홍천 옮김. 경문사
논리와 집합론 김양곤, 전원기, 이홍재 경문사
집합론 한철순 교우사
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집합론,   수학의 역사,   공리론,   공리론적 구성,   모순,   집합론의 역설