테셀레이션

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평면을 채우는 방법을 생각해보자. 한 점을 중심으로 몇 개의 정삼각형과 정사각형이 모여서 그 내각의 합이 가 되어야 한다. 이 조건을 만족하는 것은 다음 두 가지 경우와 같다.
위에서 살펴보면 각 꼭지점에서 정다각형 배열 순서가 일정한 것을 알 수 있다. 이러한 테셀레이션을 준정다각형 테셀레이션(semiregular tessellation)이라고 하는데 모두 8가지 경우가 가능하며 나머지는 다음 그림과 같다.
2.3 반(demi) 정다각형 테셀레이션
한편 정다각형의 배열 순서가 꼭지점마다 다른 테셀레이션도 가능하다. 아래 테셀레이션에서 서로 다른 배열로 구성된 두 종류의 꼭지점을 확인할 수 있다.
또한 세 종류의 서로 다른 배열을 가지는 꼭지점도 생각할 수 있다.
세 종류의 배열을 가지는 것들 중에는 두 가지 방법으로 테셀레이션이 가능한 것도 있다.
2.4 켤레(dual) 테셀레이션
테셀레이션된 각 도형들의 무게중심을 찾아 그것들을 연결하면 새로운 테셀레이션을 만들 수 있는데, 이렇게 만들어진 것을 본래의 테셀레이션의 켤레 또는 짝(dual)이라 한다.
다음에서 테셀레이션의 짝이 만들어지는 과정을 볼 수 있다.
<그림 A(A')>에서 각 도형의 무게 중심을 모두 찾아 선을 그으면 <그림 B(B')>은 것이다. 무게 중심선으로 이어진 것만 남기고 처음의 테셀레이션을 지우면 또 다른 테셀레이션 <그림 C(C')>가 된다. 이렇게 해서 <그림 A(A')>와 <그림 C(C')>는 하나가 다른 하나의 테셀레이션의 짝이 된다.
3 다각형의 테셀레이션
테셀레이션이 가능한 조건은 한 꼭지점을 중심으로 모인 다각형의 각들의 합이 가 되는 것이다. 단, 길이가 같은 변끼리 접하도록 배열해야한다. 이러한 조건에 주목하면서 일반적인 다각형의 테셀레이션으로 확장한다.
3.1 삼각형 테셀레이션
모든 삼각형은 평면에서 테셀레이션이 가능하다. 왜냐하면 6개의 삼각형을 서로 길이가 같은 변들을 접하게 하면서 한 점을 중심으로 가 되게 배열할 수 있기 때문이다.
임의의 합동인 삼각형을 가지고 생각해보면 아래 그림과 같이 길이가 같은 변들이 서로 접하면서 한 점을 중심으로 삼각형 6개가 꼭 맞도록 배열할 수 있다.
그리고 그 각각은 다음과 같이 테셀레이션 된다.
3.2 사각형 테셀레이션
이제 임의의 합동인 사각형을 생각해 보자. 사각형의 경우 , 내각의 크기의 합이 이므로, 한 점을 중심으로 네 개의 사각형을 접하는 변이 길이가 같고 가 되도록 배열할 수 있다. 그리고 다음과 같이 테셀레이션이 된다.
따라서 임의의 사각형도 테셀레이션이 가능하다.
3.3 오각형 테셀레이션
임의의 오각형은 어떨까? 앞에서 정오각형은 한 각이 이고, 그래서 한 점에 가 되도록 배열할 수 없다는 것을 기억한다면 모든 오각형들이 테셀레이션 가능한 것은 아니라는 사실을 알 수 있다. 하지만 테셀레이션 가능한 오각형들도 있다.
오각형의 인접한 두 각의 합이 일 때는 위와 같이 두 가지 방법으로 테셀레이션이 가능하다. 그리고 한 쌍의 평행한 모서리를 가진 임의의 오각형으로 테셀레이션이 가능하다. 오각형(볼록 오각형)은 14가지 종류의 테셀레이션이 가능하다고 밝혀졌으며 아직도 모든 종류의 오각형 테셀레이션이 알려진 것은 아니다.
한편 육각형의 테셀레이션은 3가지 경우 밖에 없다는 것이 1918년에 증명되었다. 어떤 육각형이 테셀레이션이 되기 위해서는 마주보는 변들이 서로 평행하고 그 길이가 같다는 조건을 만족해야 한다.
그리고 칠각형 이상의 다각형은 어떤 모양도 테셀레이션이 불가능하다는 것이 밝혀졌다. 이러한 테셀레이션은 공간으로 확장되어서 연구되고 있다. 앞으로도 더욱 연구해 볼만한 가치가 있다

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