수학논문-대수학적 사고(초등).

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목차

Ⅰ. 서 론

1. 연구의 필요성 및 목적

2. 연구의 내용


Ⅱ. 대수적 사고

1. 대수 역사 속의 대수적 사고

2. 대수의 역역과 대수적 사고


Ⅲ. 현 문자와 식 영역에 대한 검토와 개선 방안

1. 교과서의 문자와 식의 개념 사용 사례 분석

2. 교과서의 대수적 사고 요소 분석 결과

3. 문자와 식에 관한 오개념 및 오류 유형 설정

4. 문자와 식의 개념 지도 방안


Ⅳ. 요약 및 결론


참고 문헌

본문내용

사이의 관계를 포함해야 하고, 가정에서 주어진 미지량을 나타내기 위한 특정한 방법을 요구하기 때문에 표현 형식을 요구하는 것은 분석에서 중심 문제로 등장하게 된다.
다. 디오판토스의 산학
대수학의 발전과 관련해서 ‘대수학의 아버지’라 일컬어지는 디오판토스(Diophantus)를 빼놓을 수 없다. 그는 최초로 방정식 해법이 서술된 책 「산학(Arithmetika)」에서 이론적 산술에 관한 내용이 아니라 추상적이고도 일반적인 표현 방식을 택해 바빌로니아 수학보다도 진일보한 모습을 보여 주었다. 이 책에서는 대수적 기호가 최초로 등장하며, 그리스의 기하처럼 통일된 방법론이 아니라 각각의 경우마다 다른 방법이 제시되어 있긴 하지만, 실제에 활용된다거나 철학적 기초에 관한 언급 없이 ‘순수’학문으로서 방정식론을 다루었다.
디오판토스의 대수학의 기원은 기하학적이고 산술적인 바빌로니아-이집트의 전통에서 찾을 수 있다. 그리고 이들 기하학적이고 산술적 경향의 대수학은 디오판토스의 「산학」에서 통합되었다.
디오판토스는 바빌로니아의 산술적 경향의 문장제를 자신의 「산학」에서 그리스의 추상적인 용어를 이용해 변형함으로써, 이 비과학적 원리를 과학적인 것으로 상승시켰다. 이 과정은 대수학 영역에 불화정적인 수 ‘arithmos’ 즉 미지수 개념을 도입함으로써 이루어진다. 디오판토스의 ‘arithmos’는 많은 문제의 풀이에서 단위의 부정 배수의 역할을 함으로써 문제 해결에 있어서 완전히 새로운 이론적인 계산을 창조할 수 있는 토대가 마련되었고, ‘arithmos’를 통해 기존의 문제를 재형식화 하고 새로운 형태의 풀이가 가능하게 되어 대수학 분야에서 다양한 방법으로 사고할 수 있게 되었다.
문제 : 세 수에서 임의의 두 수의 곱에 주어진 수를 더한 결과가 제곱이 된다고
할 때 세 수를 구하여라.
풀이 : 주어진 수를 12라고 하자. 처음 수와 두 번째 수의 곱에 12를 더하면 제곱수 곧, 25가 된다고 하자. 따라서 처음 수와 두 번째 수의 곱은 13이 된다. 이제 처음 수를 13a, 두 번째 수를 로 보자. 다시 다른 제곱수 16에서 12를 뺀 결과가 두 번째 수와 세 번째 수의 곱이라고 하면 두 번째 수는 , 세 번째 수는 4a가 된다. 처음과 세 번째 수의 곱에 12를 더한 수 곧, 는 제곱수가 되어야 한다. 52가 제곱수라면 이 조건을 만족하는 것은 한결 쉬워질 것이다. 따라서 이제 12만큼 더한 수가 제곱수가 되도록 두 제곱수를 생각해 보자. 이것은 쉽다. 예를 들어, 한 쪽을 4라고 하면 다른 한 쪽은 1/4이고, 각각에 12를 더한 것은 제곱수가 된다. 이제 처음으로 돌아가서, 처음 수를 4a, 두 번째 수를 a, 세 번째 수를 (1/4)s라고 두자. 처음과 세 번째를 곱한 뒤 12를 더하면 제곱수가 되어야 한다. 이 수는 이고 이것이 제곱이 되어야 한다. 제곱수를 a+3으로 잡으면, 와 같아져야 하므로, a=1/2이 된다. 따라서 세 수는 2, 2, 1/8이 된다.
이 문제는 바빌로니아의 ‘가정법’에서처럼 문제가 풀렸다는 가정에서부터 시작된다. 이러한 가정은 분석적 사고가 디오판토스의 문제 풀이 포함되어 있음을 보여주고 있다. 문제 풀이 과정에서 ‘가정법’의 ‘임시값’에 해당하는 것은 처음 수 13a로 표현되어 산술적 계산의 범주를 넘어 새로운 문자 대수의 시작을 알리는 계기가 되고 있는 것이다. 또한, 문제 풀이과정은 단순히 서로 다른 양을 비교하는 수준을 넘어 잘못된 가정을 수정하기 위해 미지수로 표현된 수들 사이의 관계를 다루고 있음으로써 바빌로니아 대수의 ‘가정법’에서 다루어졌던 비례적 사고의 또 다른 형태로 볼 수 있는 것이다. 이처럼 디오판토스의 「산학」에서 바빌로니아의 산술적 대수와의 연관성을 확인할 수 있다.
라. 비에트의 분석적 기술
비에트(Viete) 퐁트네르 출생(1540-1603). 변호사로서 일하면서 수학을 연구하였다. 1591년부터 투르에서 간행하기 시작한 《해석학입문》에서 그 새로운 대수학을 전개하였다. 여기서 처음으로 대수가 기호적으로 다루어지고, 간약의 원리가 사용되었으며, 3차 방정식을 중심으로 한 방정식의 일반적 취급이 제시되었다. 17세기 해석기하학 전개의 기초를 확립하는 데 공헌하였다.
의 가장 큰 업적은 전통적인 기하학적 방법과 당시로서는 새로운 대수적 방법론을 결함시켰다는 점이다. 수학의 한 분야로 대수를 형식화하고 산술과 기하의 영역에서 대수를 추출하고 자체적인 지위를 부여할 수 있게 된 것은 비에트에 이르러서 가능해진 것이다. 비에트의 대수학은 알고 있는 것으로 간주하는 미지량으로부터 이미 ‘참’으로 밝혀진 것을 향해 나아가는 바빌로니아 대수의 분석적 방법에 해당된다. 이처럼 비에트는 분석적 사고가 대수학의 중심에 놓인다는 사실을 강조하기 위해 대수를 대신하여 ‘분석적 기술’ 이라고 부르기도 하였다. 그가 제시한 분석적 기술은, 먼저 그리스인들에 의하여 이루어진 zetetics(이론적 분석)와 poristics(문제에 의한 분석)의 두 가지 유형이 있으며, 여기에 세 번째 유형인 exegetcs를 추가하였다. zetetics는 찾고 있는 양과 주어진 양 사이의 방정식이나 비례를 찾는 것을 말하며, poristics는 역으로 방정식이나 비례로부터 세워진 정리의 진실성을 연구하는 것이다. 그리고 exegetics는 세워진 방정식이나 비례에서 찾고 있는 양 자체를 만드는 것이다(우정호, 1999). 이 과정에서 그는 방정식과 비례론을 분석적 기술의 핵심으로 보고 있다. 비에트는 이러한 분석적 기술에 따라 대수를 형식화하였고, 그의 대수의 특징은 다음과 같다. 첫 번째로, 비에트는 비례를 강조했기 때문에 모든 방정식이 동차의 형태로 다루어졌다. 즉, 모든 단항이 같은 차수를 가져야 했다. 따라서 그의 대수는 수치적인 것과 별로 다르지 않다. 그것은 단지 양의 산술에 근거한 대수이다. 두 번째로, 비에트는 문자에 관한 이론적인 계산법을 구성하기 위해 비례론의 추상화를 시도하였다. 그의 관심은 비에 있어서 문자와 연산이 무엇을 의미하는지에 관한 물음에서부터 문자가 어떻게 연산되는지에 대한 물음으로, 즉 의미론에서부터 시작하여 연산 자체로

키워드

대수 역사 속의 대수적 사고,   바빌로니아 대수학,   대수의 역역과 대수적 사고