Napoleon 삼각형에 관한 소고

목차

Ⅰ. 서론

II. 본론

1. 복소평면 상에서의 삼각형의 닮음의 조건

2. Napoleon 삼각형

3. 1의 (4)의 응용

참 고 문 헌

본문내용

Napoleon 삼각형에 관한 소고
Ⅰ. 서론
본 원고에서는 Echols이 소개한 복소평면 상에서의 삼각형의 닮음의 조건을 이용하여 Napoleon 삼각형에 관한 한 정리(정리 1 참조)의 증명과 평면도형에 관한 한 정리(정리 2 참조)의 별증을 각각 보이고자 한다.
II. 본론
1. 복소평면 상에서의 삼각형의 닮음의 조건
먼저 Echols(cf. [1], [2])이 발표한 복소평면 상에서의 삼각형의 닮음의 조건을 소개하고자 한다.
복소평면 상에서 꼭지점에 대응하는 복소수가 차례로 ; 인 두 삼각형 와 가 닮음일 필요충분조건은 다음과 같다.
(1) 두 삼각형의 向이 같을 경우 : 와 가 향이 같으면서 (그림 1 참조) 닮음일 필요충분조건은 다음과 같다:
(2) 두 삼각형의 向이 반대일 경우 : 와 가 향이 반대이면서 닮았을 경우에 과 는 향이 같으면서 닮음이 되므로 (그림 2 참조) 이 경우 위의 로부터 닮음일 필요충분조건은
을 전개하므로써 얻을 수 있다.
(3) 정삼각형이 될 조건
가 정삼각형일 필요충분조건은이다 (그림 3 참조). 따라서
: 정삼각형
단, 여기서 은 1의 原始(primitive) 3제곱근이다.
(4) 직각이등변삼각형이 될 조건
복소평면 상에서 가 인 직각이등변삼각형일 필요충분조건은 다음과 같다.(그림 4 참조)
참고 위의 그림 4로부터 가 인 직각이등변삼각형일 필요충분조건은
임을 알 수 있다. 그러나 이 식은 과 동치이다.
2. Napoleon 삼각형
Napoleon삼각형에 관한 정리는 여러 문헌 (cf. [2], [3}, [4])에 소개되고 있으며, 이들 정리 중 몇 가지에 대해서는 논증기하적인 증명 방법을 택하고 있다. 그러나 본 원고에서 취급한 정리 1의 ②에 대한 증명은, 소장하고 있는 자료의 미비로, 어떠한 형태의 것도 확인할 수 없어서 Echols의 닮음의 조건을 이용하여 증명하였다.
정리 1 (Napoleon삼각형) 임의의 의 외부에 세 변 을 각각 한 변으로 하는 정삼각형 을 만들고 그 무게중심을 각각 라 하면 다음이 성립한다.
① △는 정삼각형이다 (이를 Napoleon 삼각형이라 함).
② Napoleon 삼각형 의 무게중심은 의 무게중심과 일치한다.
증명 ① 꼭지점 및 에 대응하는 복소수를 차례로 라 하면, 는 정삼각형이므로 으로부터
(1)
또, 도 정삼각형이므로
(2)
마찬가지로도 정삼각형이므로
(3)
여기서 를 각각 계산하여 행렬식의 성질과 임을 이용하면
(4)
(5)
따라서 (4)+(1)+(5)를 계산하므로써 다음을
얻을 수 있다
즉,
그러므로 △ 는 정삼각형이다.
② 의 무게중심은 이다. 한편 Napoleon 삼각형 의 각 꼭지점 는 의 무게중심이므로 의 무게중심에 대응하는 복소수는 다음과 같다.
(6)
한편 (1)+(2)+(3)을 계산하면
.
여기에 을 대입하면
즉,
(7)
이 성립한다. 이때, (7)을 (6)에 대입하면
즉, 의 무게중심은 이다. 따라서 Napoleon 삼각형의 무게중심은 의 무게중심과 일치한다.
3. 1의 (4)의 응용
정리 2 정삼각형의 외부에 인 직각이등변삼각형 와를 각각 그려서 의 중점 를 택하면,는 인 직각이등변삼각형이다.
증명 의 각 꼭지점에 대응하는 복소수를 차례로 라 하고, 점 에 대응하는 복소수를 각각 라 하면, 점 는 에 대응된다.
는 모두 인 직각이등변삼각형이므로 1의 (4)로부터
(8)
(9)
을 계산하면
.
따라서 은 인 직각이등변삼각형이다. ■
별증 그림 6에서 점 를 각각 변 의 중점이라 하면,
이다. 따라서
한편,
이므로
따라서 는 인 직각이등변삼각형이다.y
참 고 문 헌
1. Echols ; American Mathematical Monthly 29(1932), p. 46.
2. 矢野建太郞 ; 幾何の有名な定理, 共立出版, 1994.
3. 권영환 ; 재미있는 이야기 수학, 전원문화사, 1994.
4. 박진석, 신양재 ; 평면기하와 GSP, 경남대학교 출판부, 1999.

키워드

삼각형,   정삼각형,   직각이등변삼각형