공통수학 집합과 명제

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공통수학 집합과 명제에 대한 보고서 자료입니다.

본문내용

ex. 3】가 0이 아닌 정수일 때, 이면 중에서 적어도 하나는 3의 배수임
을 증명하여라.
(증명) 가 모두 3의 배수가 아니라고 하면
(은 정수)
이 때, ,
곧, 은 3으로 나누면 2가 남고, 은 3으로 나누면 1이 남는 정수가 되어
이다. 이것은 가정에 모순이다. 그러므로 중에서 적어도 하나는 3의 배수이다.
[참고] 일반적으로 어떤 명제가 성립한다는 것을 증명하려 할 때, 그 명제를 부정하거나, 그 명제의
결론을 부정하여 가정에 모순이 됨을 이끌어냄으로써 그 명제가 성립함을 단정짓는 증명법을 귀류
법이라 한다.
§3. 필요조건 충분조건
필요 충분 필요충분조건의 정의
(ⅰ) 명제 가 참일 때 곧, 일 때,
는 이기 위한 충분조건, 는 이기 위한 필요조건
(ⅱ) 명제 , 가 모두 참일 때 곧, 일 때,
는 이기 위한 필요충분조건, 는 이기 위한 필요충분조건 (또는 서로 동치)라 한다.
필요 충분 필요충분조건과 집합의 포함관계
두 조건 의 진리집합을 각각 라 할 때,
이면
이면
이므로
일 때 는이기 위한 충분조건,
는이기 위한 필요조건
일 때 와는 서로 필요충분조건
의 관계가 있다.
[참고] 필요충분조건을 판단할 때에는 주어가 어느 쪽인가를 유의하여야 한다.
일 때 (주어)는이기 위한 충분조건이고, (주어)는이기 위한 필요조건이다.
필요충분조건을 판정하는 여러 가지 방법
(1)인가, 인가를 판단한다.
(즉, 어느 쪽으로 화살표 ⇒가 성립하는가)
먼저 주어가 무엇인가를 보고, 화살표가 있는 쪽이 필요조건
이고, 없는 쪽이 충분조건이다.
<보기> 「사람 ⇒ 동물」에서
동물은 사람이 되기 위한 필요조건이고,
사람은 동물이 되기 위한 충분조건이다.
(2) 반례를 들어 본다. (성립하지 않는 경우를 찾는다.)
(3) 범위일 경우에는 수직선을 그려 보아서 판단한다.
(4) 부등식일 경우에는 영역을 그려 보아서 판단한다.
(3),(4)에서 영역이 넓은 쪽이 필요조건이고, 좁은 쪽이 충분조건이다.
(5) 부분집합(포함관계)를 알아 본다. [이면 ]
【ex. 1】다음 □ 안에 필요, 충분, 필요충분조건 중에서 알맞은 것을 골라 써 넣어라.
(1) 은 이 되기 위한 □ 조건이다.
(2) 는 가 되기 위한 □ 조건이다.
(3) 는 가 되기 위한 □ 조건이다.
(4) 는 이 되기 위한 □ 조건이다.
(풀이) (1) ⇒ 이지만 이므로 는 충분조건
[ 은 곧 또는 이다. ]
(2) 이지만 ⇒ 이므로 는 필요조건
[ 은 곧 또는 이다. ]
(3) ⇒ 이므로 는 필요조건
(4) ⇒ 이므로 는 필요충분조건
【ex. 2】조건 에 있어서 는 어느 것이나 이기 위한 충분조건, 는 이기 위한 필 요조건, 는 이기 위한 필요조건이라 한다. 이 때,
(1) 은 이기 위한 어떤 조건인가?
(2) 는 이기 위한 어떤 조건인가?
(풀이) 는 이기 위한 충분조건이므로 ①
도 이기 위한 충분조건이므로 ②
는 이기 위한 필요조건이므로 ③
는 이기 위한 필요조건이므로 ④
①, ②, ③, ④를 오른쪽 그림과 같이 나타낼 수있다.
(1) 이므로 은 이기 위한 필요충분조건이다.
(2) 이므로 는 이기 위한 충분조건이다.
【ex. 3】다음 □ 안에 필요, 충분, 필요충분조건 중에서 알맞은 것을 넣어라. (단, 는 실수이다.)
(1) 은 이기 위한 □ 조건이다.
(2) , 인 것은 이기 위한 □ 조건이다.
(3) , 인 것은 이기 위한 □ 조건이다.
(풀이) (1) ,
이므로 ⇒
따라서, 은 이기 위한 충분조건이다.
(2) 주어진 부등식을 영역으로 나타내면 오른쪽 그림과 같다.
이므로
, 인 것은 이기 위한 충분조건이다.
(3) , ⇔ 이므로
, 인 것은 이기 위한 필요충
분조건이다.
【ex. 4】다음 □ 안에 알맞은 조건을 넣어라.
(1) 인 것은 이기 위한 □ 조건이다.
(2) 인 것은 이기 위한 □ 조건이다.
(3) 인 것은 이기 위한 □ 조건이다.
(풀이) (1) A, B가 어떤 집합이라도이므로
(필요조건)
(2) ⇔, ⇔
그런데이므로 ⇒
⇒ (충분조건)
(3) ⇔, ⇔
그런데이므로 ⇒
⇒ (충분조건)
모든(All)과 어떤(Some)을 포함한 명제와 그 부정 (모든 , 어떤 )
[ 모든에 대하여이다.] 의 부정은 [ 어떤에 대하여이다.]
[ 어떤에 대하여이다.] 의 부정은 [ 모든에 대하여이다.]
all의 부정은 some, some의 부정은 all
【ex. 5】전체집합을 라 할 때, 다음 명제의 참, 거짓을 구별하여라.
(1) 모든 에 대하여 이다. (참) 진리집합 일 때 참
(2) 모든 에 대하여 이다. (거짓) 진리집합 일 때 거짓
(3) 어떤 에 대하여 이다. (참) 진리집합 일 때 참
(4) 어떤 에 대하여 이다. (거짓) 진리집합 일 때 거짓
[참고 1] 동일한 표현 (다음의 표현은 모두 같은 뜻이다.)
(1) 모든 에 대하여 (항상) 이다. ⇒ 어떤 에 대하여도 이다.
⇒ 임의의 에 대하여 이다.
(2) 어떤 에 대하여 이다. ⇒ 적당한 에 대하여 이다.
⇒ 을 만족하는 가 (하나라도) 존재한다.
[참고 2] 「모든」의 기호 를 전칭기호, 「어떤」의 기호 를 존재기호라 한다.
【ex. 6】다음 명제의 부정을 만들고, 그의 참, 거짓을 말하여라.
(1) 모든 실수 에 대하여 이다. (참)
부정 : 어떤 실수 에 대하여 이다. (거짓)
(2) 임의의 실수 에 대하여 이다. (거짓)
부정 : 어떤 실수 에 대하여 이다. (참)
(3) 어떤 실수 에 대하여도 이다. (거짓)
부정 : 어떤 실수 에 대하여 이다. (참)
(4) 어떤 실수 에 대하여 이다. (거짓)
부정 : 모든 실수 에 대하여 이다. (참)
(5) 적당한 자연수 에 대하여 이다. (참)
부정 : 모든 자연수 에 대하여 이다. (거짓)
(6) 인 자연수 이 존재한다. (참)
부정 : 모든 자연수 에 대하여 이다. (거짓)
【ex. 7】다음 명제의 대우를 말하여라.
(1) 적당한 에 대하여 이면 중 적어도 하나는 0이 아니다.
(2) 이고 이면 모든 실수 에 대하여 이다.
(풀이) (1) 가 모두 0이고 이고 )이면
모든 에 대하여 이다.
(2) 어떤 실수 에 대하여 이면 또는 이다.

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