수의 이야기

목차

Ⅰ. 수의 역사 이야기
1.메소포타미아의 숫자
2. 이집트의 숫자
3. 중국의 숫자
4. 고대의 숫자

Ⅱ. 0 (숫자 영)
1. 0의기원
2. 0의 신비
3. 숫자 영에 대하여

Ⅲ. 완 전 수
1. 완전수(perfect number) 란 무엇입니까?
2. 무한 이라는 수 ?

Ⅳ. 소수
1. 소수(Prime Number)의 의미는?
2. 소수 의 무한성 증명
ⅰ) 수(Prime Number)의 무한성 증명
3. 소수에 관한 몇가지 이야기

Ⅴ. 복소수
1. 복소수의 탄생과 발전
2. 허수와 복소수

Ⅵ. 음수
1. 음수의 역사
2.음수란 무엇인가?

본문내용

는 2 - 5의 계산을 할 필요가 있었다. 이러한 사실에서,'0보다 작은 수'인 음수의 존재는 아주 오랜 옛날부터 알려져 있었던 듯하다. 그러나 일반적으로 받아들여져 사용하게 된 것은 그리 오래 된 일이 아니다
고대 그리스의 디오판토스(3세기경)는 방정식의 답이 음수가 될 경우에는 답이 없는 것으로 취급하였다.
또, 최초로 음수를 발견했다고 하는 인도에서는 양수는 재산, 음수는 부채로 비유하여 설명하고 있지만, 음수의 곱셈이나 나눗셈은 수학자들 사이에서조차 정확하게 이해하고 있었는지에 대해서는 불확실하다. 아무튼, 그 당시의 사회에서는 아직 음수는 그 필요성이 없었고, 더우기 일반인들에게는 전혀 거리가 먼 수였다.
그런데 음수가 받아들여져 사용된 것은 이탈리아의 수학자 카르다노(1501~1576)의 공적에 힘 입은 바 크다. 그의 유명한 저서인'아르스마그나'에 방정식의 일반적인 성질을 자세하고 체계적으로 서술하고 있는데, 그 중에서도 음수의 개념을 확립하고 양수와의 여러 가지 법칙을 명확하게 밝히고 있다.
그러나 음수의 중요성이 결정적으로 부과된 것은 근래 350여 년 사이로, 특히 데카르트(1596~1650)가 좌표를 고안하여 사용하기 시작했을 때부터이다.
수의 범위는 계속 확장되면서 현재의 수의 체계와 같은 모습으로 완성되기까지는 오랜 세월이 흘렀다. 그렇지만 우리는 몇 가지 간단한 대수방정식의 해법을 통해 그 복잡한 '수의 체계의 형성 과정'을 일목요연하게 스케치할 수 있다.
방정식 2X+5=17의 근(根)은 양의 정수 6이다. 방정식 3X+11=5의 해를 구할 때 일차적으로 문제가 발생한다. 사람에게 가장 친근한 수는 자연수(양의 정수)이다. 그래서 자연수의 범위를 벗어나면 어쩐지 정든 고향산천을 떠나 낯선 곳으로 온 느낌이 든다. 그러나 타향도 정이 들면 고향이라 했던가. 두번째 방정식의 근은 음수 -2이다. 눈 딱감고 -2도 일종의 수라고 받아들이자.
수학자들조차 오랫동안 음수의 정확한 위상을 제대로 파악하지 못했다. 지금까지도 음수의 성질은 수학 공부를 막 시작한 많은 학생들에게 어쩐지 낯설다. 음수 자체를 어렵게 생각하는 사람은 별로 없을 것이다. 영하 15도(또는 -15˚C)는 직감적으로 동시에 이지적으로도 아주 이해하기 쉽다. 그러나 음수에 음수를 곱하면 왜 양수가 되는 것일까?
답은 사전에 나와 있는 그대로이다. 두 음수의 곱은 양의 정수와 똑같은 산술 법칙에 따르기 때문에 양수라고 정의된다. 돈 문제를 한번 생각해보면 우리는 그 뜻을 금방 알 수 있다. 당신이 매주 국민 연금에서 $100를 받는데, 그 돈을 모두 침대 밑에 보관한다고 가정해 보자. 그러면 7주 후에 당신의 침대 밑에는 현재보다 $700(7×$100) 더 많은 돈이 있을 것이다. 반면에 5주 전에는 침대 밑에 현재보다 -$500(-5×$100)더 많은 돈이 있었을 것이다. 이제 쏜살같이 세월이 흘러 당신의 연금이 벌써 오래전에 끝났기 때문에 요즈음 당신은 침대 밑 돈단지에서 주단 $100씩을 곶감 빼먹듯 사용한다고 하자. 그렇다면 8주 후 당신의 침대 밑에는 현재보다 $800가 적은 (또는 8×-$100=-$800 많은)금액이 있을 것이고, 반면에 3주 전에는 당신의 침대 밑에는 현재보다 $300(-3×-$100=$300)이 더 많은 돈이 있었을 것이다.
그래서 우리는 수의 체계에 음의 정수를 첨가한다. 그러나 정수(양수와 음수가 0을 중심으로 통합된 수의 체계)는 방정식 5x-1=7의 근을 구하는데 충분하지 않다. 근 8/5은 분수(유리수)이다. 하지만 우리는 다시금 분수를 수로 쾌히 받아들여 수의 체계에 모든 분수를 첨가한다. 그러나 유리수조차 우리의 욕망을 충족시키지 못한다. 가령 방정식 x²-2=0 의 해는 2의 제곱근 즉 이다. 그런데 이 수는 유리수가 아니다. 방정식 4x³-7x+11=0의 근 역시 유리수가 아니다. 만일 수의 체계에 이들 모든 대수적 수와 여타의 무리수(즉 초월수)를 보태 하나로 통합하기만 하면, 마침내 우리는 모든 대수방정식의 근을 구할 수 있는가?(대수방정식은 계수가 모두 유리수로만 된 정방정식이다. 대수적 수는 임의의 대수방정식을 만족하는 수이다.)
3.음수에 관해서
실제 보이지 않아 서양에서는 17세기까지 불합리한 수로 여겨 양수와 양수의 합은 반드시 양수이다. 하지만 양수와 양수의 차이는 언제나 양수가 된다는 보장은 없다.
만일 음수가 없었다면 덧셈, 뺄셈과 같은 계산도 마음대로 할 수 없었을 것이다.
보기) x + 5 = 0의 해를 구하라.
이 간단한 일차방정식의 해는 x = - 5이다. 하지만 마이너스라는 개념이 없었다면 해가 없다고 하는 수밖에 없다. 실제로 17세기 영국의 명문대에서는 마이너스의 개념이 없었으므로 음수의 답이 나오면 해가 없다고 했었다. 처음으로 수가 등장한 것은 물건, 이를테면 돌의 개수를 셈하기 위해서였다. 그러나 음수에 해당하는 물건은 없다. 가령 -3마리의 양떼는 보고 싶어도 볼 수가 없다. 1, 2, 3과 같은 자연수는 금방 알 수가 있는데도, -1, -2, -3을 이해하기 어려운 이유가 여기에 있다(볼수 없는 것을 볼 수 있는 것처럼 취급하니 어려울 수밖에 없다). 1, 2, 3, ...과 같은 자연수는 전세계 어느 곳에서나 자연스럽게 발견되었다. 그래서 이와 같은 수를 자연수라고 부른다.
그러나 음수를 발견하는 데는 상당히 오랜 시간이 걸렸으며, 케임브리지대학교 학생들조차 이해하지 못했었다. 요즘 학생들도 음수를 어렵게 느끼는 데는 충분한 이유가 있다. 동양사상의 기본은 음양론이다. 이런 사상이 있었기 때문에 중국인은 쉽게 음수를 생각해낸 것이다. 음수의 발견에 관해서는 동양이 서양보다 훨씬 앞서 있었다.
기원전 2-3세기에 [구장산술]이라는 책이 쓰였는데 신라의 수학교과서로 사용되기도 했다. 이 책에서는 양수, 음수를 사용하고 있으며 음수를 빨강색으로 표시했다. 요즘 쓰이는 적자라는 말도 여기서 나왔다. 반면 데카르트(1595-1650) 이전의 서양 수학자들은 음수를 가공의 수, 불합리한수, 가짜의 수로 여기고 있었다.
개념을 분명히했던 것은 좌표(수직선)기하의 발명과도 깊은관련이 있다.

키워드

수의 개념,   수학,   영수,   음수,   소수,   완전수,   유클리드,   복소수