프로이덴탈의 수학관

본문내용

준의 '상식'이 되어 더 높은 수준의 수학의 바탕이 된다. 따라서 수학의 학습은 수학이 그 정리수단으로 작용하는 근원적인 현실로부터 시작하여 반성활동을 통한 본질의 탐구를 강조해야 한다. 곧 수학이 현실에의 적응과 결부된 의미 있는 인간활동으로 도구적 지식이 되도록 교육하려는 것이다.
개념과 이해의 의미의 혼용은 오랫동안 선험론적 합리주의적 수학교육 철학, 곧 개념획득의 철학과 교수학에 의해 크게 강화되었다. 개념획득의 철학과 교수학은 소크라테스의 산파법에서 잊혀진 개념의 상기란 의미로 명쾌히 예시된 이래 오랜 역사를 갖고 있으며 최근에 새롭게 강조되어 왔다. 어떤 추상적인 개념을 학생들의 마음에 품게 하기 위하여 그 개념의 정의를 직접 가르치려고 하는 경우, 흔히 시도된 연령층에게 그것이 가능하지 않으므로 그 구체화를 시도한다. 그러나 구체화는 흔히 너무 낮은 수준의 개략적인 것이어서 다양한 구체화로 여러 측면을 설명하려고 하여도 개념의 본질을 반영하지 못한다. Mental object의 구성이 개념획득에 선행되어야 한다는 입장은 학습의 준비성을 중시하는 것으로 이해를 위한 전략으로 단지 개념의 활동적, 영상적, 상징적 표현으로의 번역 제시를 주장한 부르너의 이론과 반대되는 것이다. 프로이덴탈은 일차적으로 Mental object로서의 본질을 생각하고 이차적으로 개념으로서의 본질을 생각하기를 요구한다. Mental object를 구성하는 것이 개념을 명백하게 하는 데 발달적으로 선행한다는 사실은 표현을 활동적, 영상적, 상징적으로 다루는 것과 근본적으로 다르다. 개념획득을 위한 구체화는 잠정적인 의미를 갖지만, Mental object의 구성에 도움을 주는 자료는 지속적이고 결정적인 가치를 갖는다. 형식적인 정의를 가르치건 그 구체화를 시도하건 예를 통한 귀납을 시도하건, 개념획득 후 적용이란 교수전략은 현상의 정리수단으로서의 본질에 대한 Mental object의 구성을 중시하는 수학화 접근법에서 볼 때 전도된 것이다.
6) 전형적인 보기를 통한 개념 지도방법
여러 가지 보기로부터의 귀납에 의한 개념획득은 전통적인 교육실천의 원리일 뿐만 아니라 행동주의 학습-지도 이론의 중심 원리이다. 그러나 프로이덴탈은 귀납이 과학적인 인식의 주요 원천은 아니며, 한두 가지 예로부터 곧바로 일반화를 하게 된다고 하면서 귀납의 논리를 거부한다. 그는 수학적 개념이나 원리나 법칙은 여러 가지 보기의 관찰로부터 귀납적으로 획득되는 것이 아니라 전형적인 보기로부터 곧바로 그 구조를 파악하여 획득된다고 주장하며 전자를 귀납적 이해, 후자를 각지라고 부르고 있다. 전형적인 예란 곧바로 그 구조에 대한 깊은 통찰을 제공해 주면서 동형인 다른 상황에 신속하고 정확하게 전이 가능한 예를 말한다.
프로이덴탈은 특히 집합 사이의 일대일 대응에 의한 수의 비료나 덧셈, 뺄셈의 개념은 귀납적으로 획득되는 것이 아니라 한 두 가지 보기로부터 곧바로 획득됨에도 불구하고 교과서는 이를 많은 보기와 연습을 통해 귀납적으로 지도하도록 꾸며져 있음을 지적하면서 개념 지도 방법과 기능 및 태도의 지도방법을 구분할 것을 제안한다. 그리고 이러한 각지에 의한 지도가 가능하려면 교사나 교육과정 개발자 및 교과서 저자들의 지도내용과 학습에 대한 상당한 정도의 통찰과 이를 수용하여 적용하려는 의지가 요구되며 적절한 전형적인 보기를 찾는 많은 연구가 선행되어야 한다고 하면서 전형적인 보기로서 체계적인 수세기를 통한 경로의 수 구하기, 귀납적 정의 및 수학적 귀납법의 전형으로서의 파스칼 삼각형을 들고 있다.
그리고 프로이덴탈은 전형적인 보기를 이요하는 대수의 지도 방법으로 '대수적 원리'를 이용한 지도방법과 연산을 수직선 위의 사상으로 해석하는 기하학적 방법을 들고 있다. 대수에 대한 기하학적 접근은 계산법칙이 일반적인 개념적 파악에 의해서 즉각적으로 얻어질 수 있다는데 그 특징이 있다. 이는 수학교육기 조기에 기하화 되어야 한다는 입장에서 기하학적 사고 방법에 보다 심원한 기초를 놓으려 한 것으로 생각된다. 그러나 프로이덴탈도 지적하고 있듯이 이러한 지도방법이 실제로 어느 수준에서 적합하며 어느 정도까지 전개될 수 있는지 구명되어야 할 연구과제이다.
프로이덴탈은 Davydov에 의해서 시도된 산술교육의 조기 대수화, 곧 수치산술에 앞선 문자산술의 조기도입 방법은 추상적인 일반법칙을 많은 구체적인 보기를 통해서 지도하는 전통적인 방법을 비판하고 곧바로 추상적이고 일반적인 접근을 통해서 획득히키려고 한 점에서 교육학적으로 심리학적으로 매우 건전한 원리를 바탕으로 한다고 보고 있다.
대수학습에서 무엇보다도 중요한 것은 산술에서의 '경험적 사고'와 대비되는 변수의 개념과
식의 동치변형에 대한 '이론적 사고'이다. 산술수준에서 등호나 빈 자리는 계산을 유발하는 데 불과하며 이로부터 등식과 그 동치변형 및 변수의 개념이 점진적으로 형성되기를 기대하는 교수학적 가정은 대수학습이 시작되는 시점에서 많은 학생들이 탈락한 지금까지의 교육경험에 비추어 받아들이기 힘들다. 이러한 문제를 해결하는 교수학적 방안의 하나로 이론적인 대수적 사고 자체를 일찍부터 곧바로 계발하여야 한다는 것이 Davydov의 생각이며, 프로이덴탈도 이에 의견을 같이 하고 있다. 프로이덴탈은 '추상화와 일반화는 많은 구체적이고 특별한 경우로부터 추상화와 일반화에 의해 도달되지 않는다는 것이다. 그러한 것은 오히려 한 가지 보기에 의해서 혹은 이러한 것이 없으면 곧바로 추상적이고 일반적인 접근에 의해 도달된다.'고 말한다.
수학 학습활동의 주된 내용은 이론적 지식이며 젊은 세대는 학습활동을 통하여 인류가 축적한 문화의 형식인 이론적 자산을 재생산하여 현실을 보는 이론적 안목을 갖게 된다. Davydov에 따르면 학습활동은 "사실적 자료의 분석을 통한 실질적인 추상적 법칙의 구성→연역을 통한 '핵심' 의 구성"을 거쳐 추상적인 것으로부터 구체적인 것으로 나아가는 이론적 지식의 동화과정을 거친다. 이러한 생각은 현상의 정리수단인 본질로서 수학을 보고 이를 전형적인 보기를 통해 그 심상의 구성과 조작적 이해를 시도한 프로이덴탈의 생각을 보다 일반화시킨 것으로 생각된다.

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