수학교육학의_지평요약

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한 바른 파악, 즉 태도의 전달이라고 보았으며 수학의 역사적 발달의 논리를 교수학적으로 번역할 수 있기를 바랐다. 그는 두 가지 실천 방안을 제기하였는데 하나는 직접 희곡화를 통해 학생들이 직접 발견하도록 안내하여 문제설정, 개념, 및 사실을 발생시키는 것으로 그는 이것을 직접적인 발생적 방법이라고 불렀다.
▷프로이덴탈은 안내하의 재발명으로서의 수학의 학습을 실현하기 위한 수단으로써 사고실험을 제기하고 있다 다시 말해 교사는 학습 지도에 임하기에 앞서 아동을 표상하여 수학의 한 부분을 재발명하게 하면서 아동을 그러한 발명활동을 하는 가운데 관찰하고 분석하여 교수학적 결론을 이끌어 내는 사고실험 과정의 중요성을 강조하고 있는 것이다.
▶수학학습목표의 행동적 진술
▷메이거는 학습목표는 함축적이어서는 관찰 가능한 행동으로 다시 말해 행동적인 증거가 명백히 드러날 수 있도록 학습목표를 설정해야 한다고 주장한. 메이거에 따르면 학습목표의 행동적 진술은 다음 세 가지 조건을 만족시켜야한다. 첫째 학습목표에 도달될 때 아동은 어떤 행동을 마스터해야 하는가를 확인해야 한다(도착점 행동). 둘째 바라는 행동이 어떤 조건 아래에서 이루어지는가를 명시해야한다.(조건). 셋째 아동의 어떤 행동을 학습목표의 성취로 간주할 것인가를 명시해야 한다(수락기준)
▷안다, 이해한다, 파악한다, 통찰한다, 적용한다 등은 함축적인 의미를 갖는 동사이며 열거한다, 암송한다, 쓴다, 푸다, 계산한다, 예시한다, 구별한다, 지적한다, 그린다, 제시한다, 이름을 말한다, 비교한다 등은 잘못 해석될 여지가 비교적 적은 동사이며 학습목표의 행동적 진술은 이러한 동사를 사용하여야 한다.
▶수학학습의 평가
▷인지적인 행동수준을 고려한 평가전략 가운데 오늘날 가장 널리 이용되고 있는 것이 앞에서 언급한 불룸의 교육목표분류학이다 불룸은 교육목적을 내용-행동수준의 행렬로 상세화하고 행동을 인지적 영역, 정의적 영역, 운동-기능적 영역으로 대별하고 각 영역을 다시 수준별로 세분하고 있다.
▷수학적 능력의 핵심은 수학적으로 문제를 해결하는 능력이라고 볼 수 있다.
▷NCTM의 평가는 문제해결, 추론, 의사소통, 개념의 이해 , 수학적 성향 등을 강조하는 교육과정과 일관성이 있어야 하며 평가가 단순한 성취도 검사를 넘어서 수업에 통합되어야 하며 다양한 평가방법이 사용되어야하고 수학적 지식의 모든 측면과 그 사이의 연결성 등 다양한 측면을 평가해야 한다는 점을 제안하였다.
학교수학의 교육적기초
▷알고리즘이란 오늘날 계산방법, 나아가 문제 해결에 이르는 유한회의 절차를 말한다.
▷집합은 현대수학에서 군, 환, 체 ,위상공간, 카테고리 등과 같은 수학적 구조의 토대이다. 확률은 가법성을 갖는 집합함수인 측도로 해석한다.
▷비둘기집원리 곧 집합 A가 그보다 기수가 작은 집합에 사상되면 A의 적어도 두 원소는 같은 상을 갖는다는 원리는 집합 사이의 1대1 대응을 생각하여 여러 가지 문제를 해결하는 수학적 사고 전략으로 이용되고 있다.
▷러셀의 역리는 와 같은 표현을 금하고 와 같은 꼴로 대체하면 곧, 성질 P(x)를 가진 원소를 택하여 집합을 만들려면 주어진 집합 내에서 택하여 만들도록 하면 피할 수 있게된다. 라고 하면 만을 이끌어낼 수 있기 때문에 패러독스는 생기지 않는다.
▷어떤 대상에 공통인 성질로서 개념을 정의하는 것은 그러한 성질을 대상에 공통으로 내포된 특성으로 보고 개념을 규정하기 때문에 내포적 정의라고 부른다.
▷아리스토텔레스는 기능적 존재로서의 무한 곧 잠재적 무한과 완성된 형태로 현실적으로 존재하는 무한 곧 실무한을 구분하였으며 무한은 현실적으로 존재하는 것이 아니라 가능적 존재에 지나지 않는다고 보았다. 수학에서의 실무한으로서의 무한소 개념은 구를 원판의 무한합으로 생각하여 구의 부피를 구한 아르키메데스에서 비롯되어 17세기의 카발리에리, 파스칼을 거쳐 라이프니츠의 무한소 계산법 곧 미적분학의 탄생으로 이어진다 파스칼은 자연수의 집합{1,2,3,...}은 1로부터 후자 함수 ρ:n->n+1에 의하여 완전하게 귀납적으로 생성됨에 주목하여 자연수 전체 곧 실무한과 관련된 명제의 증명법인 수학적 귀납범을 수학에 도입하였다. 무한집합이란 그 진부분집합과 대등한 집합이라는 실무한의 특성을 명확히하고 실무한에 대한 이론을 처음으로 체계적으로 전개한 사람이 집합론을 창시한 칸토르이다. 실무한은 완결된 형태의 무한을 뜻한다.
▷벤 다이어그램을 이용하여 집합과 연산법칙이 성립함을 보이는 것은 증명으로 볼 수 있는가? 아니면 단지 성립한다는 것을 직관적으로 보여주는 데 불과한 것인가? 벤다이어그램은 부울 대수를 이루는 집합의 대수 체계에 대한 의미론적 언어체계로 볼 수 있다. 벤다이어그램을 통해 집합의 연산법칙의 타당성을 알아보는 것은 해석 규칙이 그림에 의존하므로 엄밀하지는 않지만 이와 같은 규칙에 따라 집합 사이의 관계가 참임을 보이는 의미론적 언어체계에서의 증명으로 볼 수 있는 것이다. 이는 작도를 이용하여 삼각형의 세 중선이 한 점에서 만나는 것을 보이는 것과는 질적으로 다른 것이다 진리표를 이용하여 추론의 타당성을 보이는 것도 의미론적 언어체계에서의 증명이지만 이 경우는 규칙에만 의존하는 엄밀한 증명이다. 이에 비해 집합의 대수체계에서의 증명은 부울 대수 체계를 이루는 구문론적 언어체계에서 제 1원리인 공리와 정의로부터 대입규칙과 추론 규칙을 이용하여 정리를 연역하는 과정이다.
▷귀납추론은 전제와 결론의 관계가 개연적이며 연역추론은 그 관계가 필연적이다
▷제 5공준에 대한 의구심은 급기야 19세기에 이르러 비유클리드 기하학의 탄생을 가져와 공준에 대한 자명성과 기하학의 진리성에 대한 믿음이 무너지고 기하학은 진리 체계라기보다 하나의 가설체계에 불과하다는 것이 드러나게 되었다.
▷일차방정식 a x + b=0의 해가 a가 0이 아닌 모든 경우에 존재한다고 하기 위해서는 새로운 수가 필요하게 되었다. 곧 방정식 푸이의 형식적인 완성을 이룩하려는 시도가 음수를 도입하게한 주요 이유이다. 음수의 존재를 확립하기 위한 오랜 기간에 걸친 많은 노력 끝에 완전한 성공을 거둔 것은 19세기 독일의 수학자 Hankel이었다.
▷수학을 하는 것

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