[고등학교] 수학 학습 지도안 (교육실습)

소개글

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목차

Ⅰ. 계획단계
1. 단원명
2. 단원의 개관
3. 단원의 지도목표
4. 단원의 지도상 유의점
5. 수준별 학습 지도 방안
6. 단원의 계통
7. 단원의 이론적 배경
8. 단원의 지도계획

Ⅱ. 진단 및 지도단계
1. 본시 교수-학습 과정안
2. 판서계획
3. 형성평가
4. 참고(복소수의 역사적 배경)

본문내용

수, 실수의 집합에서의 사칙연산을 차례로 다루어 봄으로써 연산이 가지고 있는 성질을 알아보고, 실수의 집합에서 뺄셈과 나눗셈은 각각 덧셈과 곱셈으로 바꾸어 생각할 수 있음을 알도록 한다.
- 덧셈과 곱셈에 대한 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙이 성립함을 직관적으로 이해하도록 하고, 이런 대수적 구조를 지나치게 강조하거나 공리적 방법으로 형식화하여 지도하지 않도록 한다.
- 수의 집합에 따라 주어진 연산에 대하여 항등원과 역원이 존재할 수 있음을 알게 하고, 연산에 따라 항등원과 역원이 서로 다르다는 점을 이해하도록 한다.
- 임의의 두 실수 와 에 대하여 와 의 차 가 양수인지 음수인지에 따라 그 두 수의 대소 관계를 정의하고 있다. 그러므로 의 부호를 조사하여 와 사이의 대소 관계를 알 수 있도록 한다.
- 제곱하여 음이 되는 실수가 없음을 이해하여 허수의 필요성을 알게 하고, 허수 단위 의 뜻을 분명히 알 수 있으며 실수, 허수, 복소수 사이의 차이점을 파악할 수 있게 한다. 그리고 두 복소수가 서로 같을 조건과 켤레복소수에 대하여 말할 수 있도록 한다.
- 실수의 계산 규칙에 따라 복소수의 사칙연산을 바르게 할 수 있도록 하고, 나눗셈은 켤레복소수를 이용하여 계산하게 하며, 임을 이용하여 에 관한 식을 계산하도록 한다.
- 복소수의 집합에서는 연산에 대한 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙이 성립하고, 항등원과 역원이 존재함을 알게하고, 실수의 집합과 똑같은 대수적 구조가 있음을 직관적으로 이해하게 한다.
5. 수준별 학습 지도 방안
<상위수준>
- 조건제시법으로 제시된 집합에 대하여 여러 가지 집합의 성질을 알아보게 한다.
- 조건이 합성되어 있는 명제에 대하여 명제의 참, 거짓을 판단하게 하고 필요충분조건을 찾도록 한다.
- 복소수의 연산도 실수의 연산과 같이 분배법칙을 사용하는 것이 숙달되도록 한다.
<하위수준>
- 원소나열법으로 제시된 집합에 대하여 벤 다이어그램을 이용하여 여러 가지 집합의 성질을 알아보게 한다.
- 단순한 명제를 통하여 명제의 참, 거짓을 판단하게 하고 역, 이, 대우를 구하게 한다.
- 수의 연산을 먼저 자연수의 집합에서 다루고 점차 실수의 범위로 확장하면서 그 성질을 이해하게 한다.
6. 단원의 계통
선수학습

본시학습(Ⅰ.수와연산)

발전학습
집합
1 집합
<수학Ⅰ>
소인수분해
01 집합의 포함 관계
수열-수학적 귀납법
최대공약수,최소공배수
02 집합의 연산법칙
순열과 조합 -경우의 수
십진법, 이진법
2 명제
순열과 조합 -순열, 조합
정수와 유리수의 개념과 대소 관계
01 명제와 부정
통계-동계적 추정
정수와 유리수의 사칙계산
02 명제의 역, 이, 대우
<확률과 통계>
유리수와 소수
03 필요, 충분조건
표본의 뜻-모집단과 표본
유리수와 순환소수
3 실수와 복소수
<이산수학>
제곱근과 그 성질
01 실수의 연산
순열과 조합-순열, 조합
무리수의 개념
02 실수의 대소 관계
세기의 방법-배열의 존재성
실수의 대소 관계와 수직선
03 복소수의 연산
세기의 방법-집합의 분할
근호를 포함한 식의 계산
세기의 방법-수의 분할
수와 알고리즘-수의 규칙성
7. 단원의 이론적 배경
1. 집합론의 발전
현대 수학의 기초적이고 기본적인 개념인 집합론은 1880년대부터 칸토르(Cantor, G. ; 1845~1918)에 의하여 처음으로 시작되었다고 할 수 있다.
칸토르는 1970년 「표현의 일의성」정리에서 다음과 같은 두 개의 삼각급수
가 어떤 구간에서 모두 수렴하고, 일치하는 경우는 양자의 대응하는 계수 이 각각 일치한다고 증명했으며 그 후 이 정리의 가정을 완화시켜 양 급수의 수렴성 또는 일의성을 만족시키지 않는 점들이 다소 있더라도 위 정리의 결론은 성립한다는 것을 밝혔다.
위 정리의 대상 집합이 처음에는 유한집합이었으나, 무한집합으로 범위를 확장하여도 성립한다는 것을 알게 되었으며 이를 체계적으로 다루기 위하여 직접 제 차 도집합을 도입하여 집합론을 형성하게 되었다.
한편 칸토르는 집합을 「집합이란 우리들의 직관 또는 사고의 대상으로 확정이 되어 있고, 서로 명확하게 구별이 되는 것을 하나의 전체로서 모은 것이다.」라고 정의하였으나 이 정의는 완벽하지 못함이 여러 가지 집합론의 역리로 나타났다. 대표적인 역리(Paradox)가 유명하다. 이와 같은 역리를 해결하고자 새롭게 나온 이론이 공리론적 집합론(Axiomatic Set Theory)이다.
2. 연속체 가설
무한집합 사이의 기수는 모두 같을 것이라는 직관의 반대로 기수가 같지 않는 경우가 발견되었다. 칸토르는 유명한 대각선논법이라는 증명법으로 자연수 전체의 집합은 선분 위의 점의 집합과 대응하지 않는다는 것을 증명하였다.
전자는 기호 로 쓰고 기수 를 가진 집합을 가부번집합이라 한다.
후자는 연속(Continuum)에 따라서 의 독일 문자 로 기수를 나타내는 경우가 많다. 칸토르는 다음에 집합 와 그 멱집합 는 대등하지 않다는 것을 증명하였다. 따라서, 차례로 멱집합을 만들어 가면, 대등하지 않은(차례로 커가는) 무한집합을 한없이 만들 수 있다.
특히,
여기서, 와 사이의 기수를 가진 무한집합이 존재하는가의 문제를 칸토르는 제시하였다. 그러나, 그자신은 이와 같은 집합을 발견할 수 없었다. 그리하여 그는 이와 같은 집합은 존재하지 않을 것을 추측하였다. 이와 같은 추측을 “연속체 가설”(Continuum hypothesis)이라고 한다.
3. 칸토르(G. Cantor; 1845~1918)
칸토르는 1845년 페테르스부르크(Petersburg, 지금의 Leningrad)에서 상인의 아들로 태어났다. 양친 모두 유태계의 덴마크 인이다. 일찍이 수학의 재능이 인정되었으나, 부친은 칸토르를 기사를 시킬 생각이었다. 17세 때 수학전공을 허가 받고 스위스의 취리히(Zurich)대학에 입학했다.
1867년 가우스(K. F. Gauss; 1777~1855)가 남긴 정수론의 문제를 해결하여 학위를 얻었다. 베를린의 여학교에서 교편을 잡은 뒤에 1869년 할레(Halle) 대학의 강사, 1872년에 조교수, 1979년에 정교수가 되었다. 크로네커와의 격렬한 대립으로 희망했던 베를린 대학의 교수직에는

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